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Gleichungen, Körper: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:00 So 23.11.2008
Autor: Ic3b0ng

Aufgabe
Aufgabe
Bestimmen Sie die Elemente x aus dem jeweils angegebenen Körper K, für die die angegebene Gleichung erfüllt ist.

(1) $ [mm] x^5 [/mm] + [mm] x^4 [/mm] + 1 = 0 $ (K ist einer der Körper $ [mm] \IF_{3} [/mm] $, $ [mm] \IF_{7} [/mm] $ )
(2) $ [mm] x^{3} [/mm] - 1 = 0 $ (K ist einer der Körper $ [mm] \IF_{3} [/mm] $, $ [mm] \IQ [/mm] $ , $ [mm] \IC [/mm] $)

Meine Frage ist wie ich bei den Körpern $ [mm] \IQ [/mm] $ und $ [mm] \IC [/mm] $ die Gleichung lösen kann?
Bei $ [mm] \IF_{3} [/mm] $ sind es 0,1,2, analog zur 7 mit 0,1,2,3,4,5,6. Da hatte ich keine Schwierigkeiten, da wir bereits Beispiele derart gelöst haben.

Allerdings besteht mein Problem darin es auf $ [mm] \IQ, \IC [/mm] $ anzuwenden.
Ich dachte da an $ x [mm] \in \IQ, [/mm] x [mm] \in \IC [/mm] $.
Aber wie bestimme ich da konkrete x aus diesen Körpern, für die die Gleichung $ [mm] x^{3} [/mm] - 1 = 0 $
bzw. umgeformt $ (x-1) [mm] (x^{2} [/mm] + x + 1) = 0 $ erfüllt ist?

Vielleicht kann mir da jemand einen Tipp geben?
Vielen Dank schonmal im Voraus.

Tino

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Gleichungen, Körper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:26 So 23.11.2008
Autor: zahllos

Hallo

versuche zuerst die Gleichung [mm] x^3 [/mm] - 1 = 0 im Körper [mm] \IC [/mm] zu lösen. Es gibt drei Lösungen, nämlich die dritten Einheitswurzeln. Eine davon liegt auch in [mm] \IQ, [/mm] das ist die Lösung dieser Gleichung im Köroer der rationalen Zahlen.

Bezug
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