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Gleichungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:10 Sa 19.05.2007
Autor: Ares1804

Aufgabe
Wenn p eine Primzahl ist und a,b natürliche (d.h. positive ganze ~) Zahlen sind, dann folgt aus
[mm] 2^p+3^p=a^n [/mm] , dass n=1 gilt

b) Für welche Werte aus [mm] \IZ [/mm] hat die Gleichung
[mm] x^2+axy+y^2=1 [/mm]
unendlich viele Lösungen in [mm] \IZ [/mm]

Hallo,

Mal wieder möchte ich hiermit um Hilfe bitten, denn ich habe leider gerade keine Idee für einen Ansatz.

Ich bedanke mich im Vorraus für jeden Tipp!

MfG
M.



        
Bezug
Gleichungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 06:50 So 20.05.2007
Autor: Ares1804

Oh, ich vergaß: Bei der b) sind die Werte für a aus [mm] \IZ [/mm] gesucht

Aber ich komm irgendwie nicht weiter....

Bezug
        
Bezug
Gleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:49 So 20.05.2007
Autor: rabilein1

zu Aufgabe b):

Für a=0 ergibt sich die Gleichung: [mm] x^{2}+y^{2}=1 [/mm]
Das wäre ein Kreis, auf dem unendlich viele Punkte liegen.

Für a=1 ergibt sich die Gleichung: [mm] x^{2}+xy+y^{2}=1 [/mm]
Diese Gleichung ist erfüllt für [mm] x=y=\wurzel\bruch{1}{3} [/mm]
Wenn x einen Tick kleiner ist als [mm] \wurzel\bruch{1}{3}, [/mm] gibt es dann auch noch einen y-Wert?

Für a=-1 ergibt sich die Gleichung: [mm] x^{2}-xy+y^{2}=1 [/mm]
Diese Gleichung ist erfüllt für x=y=1
Wenn x einen Tick kleiner ist als 1, gibt es dann auch noch einen y-Wert?

Bezug
                
Bezug
Gleichungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:20 So 20.05.2007
Autor: rabilein1

Für alle a gilt: wenn x=0, dann ist  y=1 und y=-1

Was geschieht, wenn x einen Tick von Null abweicht?
Lässt sich daraus etwas erkennen?  

Bezug
        
Bezug
Gleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:14 So 20.05.2007
Autor: wauwau

bzgl a)

p=2 folgt n=1
daher ist p eine ungerade Primzahl

betrachte die Glg. modulo5
und zerlege die linke seite

[mm] 2^p+3^p=5(2^{p-1}-2^{p-2}3+2^{p-3}3^2-+......-2*3^{p-2}+3^{p-1}) [/mm]

der zweite Faktor ist  [mm] \equiv p*2^{p-1} [/mm] mod 5,

da jedoch 5 mindestens bei n>1 in mehrfachen Potenzen auftreten muss, muss der zweite Faktor ebenfalls durch 5 teilbar und daher p=5 sein.
Da für p=5 n=1 folgt (ausrechnen)
ist das gewünschte bewiesen

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Bezug
Gleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:19 So 20.05.2007
Autor: wauwau

bzgl b)

Die Antworten von Rabilein sind leider falsch, da es sich um diophantische Gleichungen handelt

Bezug
                
Bezug
Gleichungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:57 So 20.05.2007
Autor: rabilein1

> Die Antworten von Rabilein sind leider falsch, ...
Es mag sein, dass die Antworten unvollständig sind.
Für die angegebenen Werte (a=-1, a=0 und a=1) kommen die x-y-Werte aber so hin.

Für alle a-Werte müsste sich auf ähnliche Weise ein  x=y-Wert bestimmen lassen.  Wie das allerdings bei [mm] x\not=y [/mm] aussieht, kann ich nicht sagen.

Bezug
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