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Gleichung umstellen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:35 Mi 17.10.2012
Autor: Lu-

Aufgabe
[mm] r^2 [/mm] = [mm] [\frac{1+(f'(x_0))^2}{f''(x_0)} f'(x_0)]^2 [/mm] + [mm] [\frac{1+(f'(x_0))^2}{f''(x_0)}]^2 [/mm]

Wie komme ich von der oberen Gleichung zu:
r = [mm] |(\frac{(1+(f'(x_0))^2)^{1,5}}{f''(x_0)}| [/mm]

Vlt kann mir wer die genaue Umformung erklären, brauche sie für einen Beweis ;)

LG

        
Bezug
Gleichung umstellen: "Strategie"
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:44 Mi 17.10.2012
Autor: Marcel

Hallo,

> [mm]r^2[/mm] = [mm][\frac{1+(f'(x_0))^2}{f''(x_0)} f'(x_0)]^2[/mm] +
> [mm][\frac{1+(f'(x_0))^2}{f''(x_0)}]^2[/mm]
>  Wie komme ich von der oberen Gleichung zu:
>  r = [mm]|(\frac{(1+(f'(x_0))^2)^{1,5}}{f''(x_0)}|[/mm]

das sehe ich auch gerade nicht, aber...
  

> Vlt kann mir wer die genaue Umformung erklären, brauche
> sie für einen Beweis ;)

... ob das "vernünftig" ist, kannst Du doch schonmal testen, indem Du die
untere:
$$r=blablabla$$
quadrierst und guckst, ob das obenstehende Ergebnis rauskommt.

Und das Tolle hier:
Das wird dann in der Tat eine Äquivalenzumformung sein, denn hier
ist ja offenbar $r [mm] \ge [/mm] 0$ ...

Also rechne einfach nach:
$$r=blablabla$$
[mm] $$\gdw r^2=(blablabla)^2$$ [/mm]

und da nun  gelten soll (das die folgende Gleichung "gelten soll", wird
durch das Ausrufezeichen ausgedrückt)
[mm] $$(blablabla)^2\stackrel{!}=[\frac{1+(f'(x_0))^2}{f''(x_0)} f'(x_0)]^2 +[\frac{1+(f'(x_0))^2}{f''(x_0)}]^2$$ [/mm]
guck' halt, ob Du
[mm] $$(blablabla)^2=[\frac{1+(f'(x_0))^2}{f''(x_0)} f'(x_0)]^2 +[\frac{1+(f'(x_0))^2}{f''(x_0)}]^2$$ [/mm]
(durch eventuell hinr. viele Äquivalenzumformungen) zu einer
"offensichtlich" wahren Aussage umgeformt bekommst!

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Gleichung umstellen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:43 Mi 17.10.2012
Autor: Lu-

Hallo,
jedoch kommt bei mir nicht genau das selbe heraus..

$ [mm] [\frac{1+(f'(x_0))^2}{f''(x_0)} f'(x_0)]^2 [/mm] $ + $ [mm] [\frac{1+(f'(x_0))^2}{f''(x_0)}]^2 [/mm] $
= [mm] \frac{f'(x_0)^2 + 2 f'(x_0)^3 + f'(x_0)^6 + 1+ 2 f'(x_0)^2 + f'(x_0)^4}{f''(x_0)^2} [/mm]

und bei
($ [mm] |(\frac{(1+(f'(x_0))^2)^{1,5}}{f''(x_0)}| $)^2 [/mm]
= [mm] \frac{1+ 3 f'(x_0)^2 + 3f'(x_0)^4 + f'(x_0)^6 }{f''(x_0)^2} [/mm]

LG



Bezug
                        
Bezug
Gleichung umstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:24 Do 18.10.2012
Autor: Sensei89


> Hallo,
>  jedoch kommt bei mir nicht genau das selbe heraus..
>  
> [mm][\frac{1+(f'(x_0))^2}{f''(x_0)} f'(x_0)]^2[/mm] +
> [mm][\frac{1+(f'(x_0))^2}{f''(x_0)}]^2[/mm]
>  = [mm]\frac{f'(x_0)^2 + 2 f'(x_0)^3 + f'(x_0)^6 + 1+ 2 f'(x_0)^2 + f'(x_0)^4}{f''(x_0)^2}[/mm]

[mm] f'(x_0)^2 [/mm] + -> 2 [mm] f'(x_0)^3 [/mm] <- + [mm] f'(x_0)^6 [/mm] + 1+ 2 [mm] f'(x_0)^2 [/mm] + [mm] f'(x_0)^4 [/mm]
wo genau kommt die ungerade potenz her? ansonsten sieht das doch relativ ähnlich aus

>  
> und bei
> ([mm] |(\frac{(1+(f'(x_0))^2)^{1,5}}{f''(x_0)}|[/mm][mm] )^2[/mm]
>  = [mm]\frac{1+ 3 f'(x_0)^2 + 3f'(x_0)^4 + f'(x_0)^6 }{f''(x_0)^2}[/mm]
>  
> LG
>  
>  


Bezug
                                
Bezug
Gleichung umstellen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:01 Do 18.10.2012
Autor: Lu-

$ [mm] [\frac{1+(f'(x_0))^2}{f''(x_0)} f'(x_0)]^2 [/mm] $
Die ungerade Potenz kommt vom Binom-Teil der mit 2 multipliziert wird.
2* [mm] (f'(x_0))^2 [/mm] *  [mm] f'(x_0)) [/mm]  *1
Und da ist doch eine ungerade Potenz!!?

Liebe Grüße

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Gleichung umstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:46 Do 18.10.2012
Autor: Steffi21

Hallo

[mm] r^2=[\frac{1+(f'(x_0))^2}{f''(x_0)} f'(x_0)]^2+[\frac{1+(f'(x_0))^2}{f''(x_0)}]^2 [/mm]

[mm] r^2=[\bruch{f'(x_0)+(f'(x_0))^3}{f''(x_0)}]^2+[\bruch{1+(f'(x_0))^2}{f''(x_0)}]^2 [/mm]

[mm] r^2=\bruch{(f'(x_0))^2+2(f'(x_0))^4+(f'(x_0))^6}{(f''(x_0))^2}+\bruch{1+2f'(x_0))^2+f'(x_0))^4}{(f''(x_0))^2} [/mm]

[mm] r^2=\bruch{1+3(f'(x_0))^2+3(f'(x_0))^4+(f'(x_0))^6}{(f''(x_0))^2} [/mm]

[mm] r^2=\bruch{[(1+(f'(x_0))^2]^3}{(f''(x_0))^2} [/mm]

benutze Binomische Formel
sollte jetzt reichen
Steffi



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Gleichung umstellen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:57 Do 18.10.2012
Autor: Lu-

DANKE"!!!

Bezug
        
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Gleichung umstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:16 Do 18.10.2012
Autor: Sensei89

quadrate in die klammern ziehen, ausklammern, multiplizieren, wurzel ziehen, fertig?

mich wundert nur grad, dass da dann der betrag steht und nicht [mm] \pm [/mm]
oder steht in der aufgabe sonst noch, dass r positiv sein soll?

Bezug
                
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Gleichung umstellen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:38 Do 18.10.2012
Autor: fred97


> quadrate in die klammern ziehen, ausklammern,
> multiplizieren, wurzel ziehen, fertig?
>  
> mich wundert nur grad, dass da dann der betrag steht und
> nicht [mm]\pm[/mm]

[mm] \wurzel{a^2}=|a| [/mm]

FRED


>  oder steht in der aufgabe sonst noch, dass r positiv sein
> soll?


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