Gleichung nach x auflösen < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:48 Fr 18.01.2013 | | Autor: | Lewser |
| Aufgabe | Lösen sie die folgende Gleichung nach x auf:
[mm] \wurzel{3}cos(x)=1-sin(x) [/mm] |
Hier fehlt mir der richtige Ansatz.
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Hallo,
> Lösen sie die folgende Gleichung nach x auf:
>
> [mm]\wurzel{3}cos(x)=1-sin(x)[/mm]
> Hier fehlt mir der richtige Ansatz.
Der lautet so:
[mm] tan(x)=\bruch{sin(x)}{\cos(x)}
[/mm]
sowie ein wenig Kenntnisse über gleichseitige Dreiecke...
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:06 Fr 18.01.2013 | | Autor: | Lewser |
Tut mir leid, da muss ich passen. An Tangens habe ich auch gedacht, bin aber bereits im zweiten Schritt nicht weiter gekommen, daher habe ich die Idee wieder verworfen ... gleichseitiges Dreieck wegen der [mm] \wurzel{3}?
[/mm]
Aber die spielt doch nur bei der Höhe oder Fläche eine Rolle ...
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Hallo,
> Tut mir leid, da muss ich passen. An Tangens habe ich auch
> gedacht, bin aber bereits im zweiten Schritt nicht weiter
> gekommen, daher habe ich die Idee wieder verworfen ...
> gleichseitiges Dreieck wegen der [mm]\wurzel{3}?[/mm]
> Aber die spielt doch nur bei der Höhe oder Fläche eine
> Rolle ...
sorry, das war ein Schnellschuss meinerseits, der daneben ging. Man muss hier en trigonometrischen Pythagoras
[mm] sin^2(x)+cos^2(x)=1
[/mm]
etwa nach sin(x) aufgelöst anwenden und das ganze dann erst einmal als Wurzelgleichung behandeln. Sprich: die Wurzel isolieren, quadrieren, dann die entstandene trigonometrische Gleichung durch Substitution lösen.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:24 Fr 18.01.2013 | | Autor: | Lewser |
Das habe ich auch einmal durchexerziert, allerdings mit dem cosinus und bin dann auf ein Ergebnis gekommen, dass nicht richtig sein kann. Aber bevor ich das poste, wollte ich folgendes fragen:
Nachdem du den Tangens empfohlen hast (Schnellschuss hin oder her) habe ich das noch einmal versucht und folgendes getan:
[mm] \wurzel{3}=\bruch{1}{cos(x)}-tanx(x)
[/mm]
[mm] \rightarrow tan(x)+\wurzel{3}=\wurzel{1+tan^2(x)}
[/mm]
[mm] \rightarrow tan^2(x)+2\wurzel{3}tan(x)+3=1+tan^2(x)
[/mm]
[mm] \rightarrow 2\wurzel{3}tan(x)+2=0
[/mm]
[mm] \rightarrow tan(x)=-\bruch{1}{\wurzel{3}}
[/mm]
somit ist [mm] x=-\bruch{\pi}{6}
[/mm]
Da das Intervall von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] gehen soll (in der Aufgabenstellung vergessen, entschuldigung dafür), aufgrund der Symmetrie:
[mm] x_{1}=\bruch{\pi}{2}+\bruch{\pi}{6}=\bruch{2}{3}\pi
[/mm]
[mm] x_{2}=\bruch{3}{2}\pi+\bruch{\pi}{6}=\bruch{5}{3}\pi
[/mm]
Es sieht für mich plausibel aus, allerdings mache ich oft und gern Flüchtigkeitsfehler ... könntest Du meine Rechnung einmal überfliegen?
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Hallo,
> Das habe ich auch einmal durchexerziert, allerdings mit dem
> cosinus und bin dann auf ein Ergebnis gekommen, dass nicht
> richtig sein kann. Aber bevor ich das poste, wollte ich
> folgendes fragen:
>
> Nachdem du den Tangens empfohlen hast (Schnellschuss hin
> oder her) habe ich das noch einmal versucht und folgendes
> getan:
>
> [mm]\wurzel{3}=\bruch{1}{cos(x)}-tanx(x)[/mm]
>
> [mm]\rightarrow tan(x)+\wurzel{3}=\wurzel{1+tan^2(x)}[/mm]
>
> [mm]\rightarrow tan^2(x)+2\wurzel{3}tan(x)+3=1+tan^2(x)[/mm]
>
> [mm]\rightarrow 2\wurzel{3}tan(x)+2=0[/mm]
>
> [mm]\rightarrow tan(x)=-\bruch{1}{\wurzel{3}}[/mm]
>
> somit ist [mm]x=-\bruch{\pi}{6}[/mm]
>
So, bis hier kann ich nur sagen: Chapeau, das ist jetzt mal eine richtig elegante Lösung! 
> Da das Intervall von 0 bis [mm]2\pi[/mm] gehen soll (in der
> Aufgabenstellung vergessen, entschuldigung dafür),
> aufgrund der Symmetrie:
>
> [mm]x_{1}=\bruch{\pi}{2}+\bruch{\pi}{6}=\bruch{2}{3}\pi[/mm]
>
> [mm]x_{2}=\bruch{3}{2}\pi+\bruch{\pi}{6}=\bruch{5}{3}\pi[/mm]
>
> Es sieht für mich plausibel aus, allerdings mache ich oft
> und gern Flüchtigkeitsfehler ... könntest Du meine
> Rechnung einmal überfliegen?
Hier steckt tatsächlich doch noch ein Flüchtigkeitsfehler drin. Die Periodenlänge der Tangensfunktion ist [mm] P=\pi, [/mm] also bekommt man
[mm] x_1=-\bruch{\pi}{6}+\pi=\bruch{5}{6}\pi
[/mm]
[mm] x_2=-\bruch{\pi}{6}+2\pi=\bruch{11}{6}\pi
[/mm]
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:36 Fr 18.01.2013 | | Autor: | Lewser |
Ich habe es aus der grafischen Darstellung versucht abzulesen und bin von der falschen Seite herangegangen.
Vielen Dank für Deine Unterstützung!
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