Gleichung mit komplexen Zahlen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) Welche komplexe Zahl z erfüllt die Gleichung:
z - 1 + 2iz* - i = 0
b) Bestimmen Sie die reellen Zahlen x,y so, dass [mm] (x+iy)^2 [/mm] = 2i |
Das * ist KEIN Multiplikationszeichen sondern ein Sternchen, wahrscheinlich das Symbol für konjugiert komplex oder?
a)Ich weiß nicht so recht wie ich die Aufgabe angehen soll. Ich könnte die komplexen Zahlen z bzw z* in allgebraischer Form schreiben.
(x+iy) - 1 + 2i(x-iy) - i = 0
kann ich die Gleichung dann folgender Masen zusammen fassen und bringt mir das überhaupt was?
(x+iy) + 2ix - 2(i)^2y - i = 1
(x+iy) + 2ix + 2y - i = 1 (weil [mm] i^2=-1)
[/mm]
Aber ich weiß nicht wie ich jetzt weiter machen kann.
b) Also ich würd Wurzelziehen auf beiden Seiten so, dass ich hab:
(x+iy) = √2i
Weiter weiß ich nicht...
Vielleicht kann man das i auch in Eula Form umschreiben: Bringt das was?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:14 Fr 01.11.2013 | | Autor: | abakus |
> a) Welche komplexe Zahl z erfüllt die Gleichung:
> z - 1 + 2iz* - i = 0
>
>
> b) Bestimmen Sie die reellen Zahlen x,y so, dass [mm](x+iy)^2[/mm] =
> 2i
> Das * ist KEIN Multiplikationszeichen sondern ein
> Sternchen, wahrscheinlich das Symbol für konjugiert
> komplex oder?
>
> a)Ich weiß nicht so recht wie ich die Aufgabe angehen
> soll. Ich könnte die komplexen Zahlen z bzw z* in
> allgebraischer Form schreiben.
>
> (x+iy) - 1 + 2i(x-iy) - i = 0
>
> kann ich die Gleichung dann folgender Masen zusammen fassen
> und bringt mir das überhaupt was?
>
> (x+iy) + 2ix - 2(i)^2y - i = 1
> (x+iy) + 2ix + 2y - i = 1 (weil [mm]i^2=-1)[/mm]
Hallo,
bis jetzt war das ganz gut.
Jetzt sortieren wir die linke Seite mal nach Termen mit i und Termen ohne i. Die Gleichung lautet dann
x+2y+i*(y+2x-1)=1
Also besitzt die linke Seite den Realteil 1 (und den Imaginärteil 0).
Daraus bekommst du das Gleichungssystem
x+2y=1
y+2x-1=0.
Gruß Abakus
>
> Aber ich weiß nicht wie ich jetzt weiter machen kann.
>
> b) Also ich würd Wurzelziehen auf beiden Seiten so, dass
> ich hab:
> (x+iy) = √2i
>
> Weiter weiß ich nicht...
> Vielleicht kann man das i auch in Eula Form umschreiben:
> Bringt das was?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> > a) Welche komplexe Zahl z erfüllt die Gleichung:
> > z - 1 + 2iz* - i = 0
> >
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> > b) Bestimmen Sie die reellen Zahlen x,y so, dass
> [mm](x+iy)^2[/mm] =
> > 2i
> > Das * ist KEIN Multiplikationszeichen sondern ein
> > Sternchen, wahrscheinlich das Symbol für konjugiert
> > komplex oder?
> >
> > a)Ich weiß nicht so recht wie ich die Aufgabe angehen
> > soll. Ich könnte die komplexen Zahlen z bzw z* in
> > allgebraischer Form schreiben.
> >
> > (x+iy) - 1 + 2i(x-iy) - i = 0
> >
> > kann ich die Gleichung dann folgender Masen zusammen
> fassen
> > und bringt mir das überhaupt was?
> >
> > (x+iy) + 2ix - 2(i)^2y - i = 1
> > (x+iy) + 2ix + 2y - i = 1 (weil [mm]i^2=-1)[/mm]
> Hallo,
> bis jetzt war das ganz gut.
> Jetzt sortieren wir die linke Seite mal nach Termen mit i
> und Termen ohne i. Die Gleichung lautet dann
> x+2y+i*(y+2x-1)=1
> Also besitzt die linke Seite den Realteil 1 (und den
> Imaginärteil 0).
Warum? Ich versteh die Umformung nach "i" und "nicht i" aber wo liest du den Real- bzw Imaginärteil ab?
> Daraus bekommst du das Gleichungssystem
> x+2y=1
> y+2x-1=0.
Wie stellst du dieses Gleichungssystem auf? Könnt es nicht genau anders rum sein? Also:
x+2y=0
y+2x-1=1
> Gruß Abakus
>
>
>
> >
> > Aber ich weiß nicht wie ich jetzt weiter machen kann.
> >
> > b) Also ich würd Wurzelziehen auf beiden Seiten so,
> dass
> > ich hab:
> > (x+iy) = √2i
> >
> > Weiter weiß ich nicht...
> > Vielleicht kann man das i auch in Eula Form
> umschreiben:
> > Bringt das was?
> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
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> > Die Gleichung lautet dann
> > [mm] \green{x+2y}+i*\red{(y+2x-1)}=1
[/mm]
> > Also besitzt die linke Seite den Realteil 1 (und den
> > Imaginärteil 0).
> Warum? Ich versteh die Umformung nach "i" und "nicht i"
> aber wo liest du den Real- bzw Imaginärteil ab?
Hallo,
der Imaginärteil ist die reelle Zahl, die mit i multipliziert wird (rot), der Realteil der Teil ohne i (grün).
> > Daraus bekommst du das Gleichungssystem
> > x+2y=1
> > y+2x-1=0.
> Wie stellst du dieses Gleichungssystem auf? Könnt es
> nicht genau anders rum sein? Also:
> x+2y=0
> y+2x-1=1
Nein.
Es ist [mm] \green{x+2y}+i*\red{(y+2x-1)}=1=\green{1}+\red{0}*i.
[/mm]
Also müß jeweils das Grüne gleich sein, und das Rote.
LG Angela
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> > > Die Gleichung lautet dann
> > > [mm]\green{x+2y}+i*\red{(y+2x-1)}=1[/mm]
> > > Also besitzt die linke Seite den Realteil 1 (und den
> > > Imaginärteil 0).
> > Warum? Ich versteh die Umformung nach "i" und "nicht i"
> > aber wo liest du den Real- bzw Imaginärteil ab?
>
> Hallo,
>
> der Imaginärteil ist die reelle Zahl, die mit i
> multipliziert wird (rot), der Realteil der Teil ohne i
> (grün).
Alles klar. Danke
>
> > > Daraus bekommst du das Gleichungssystem
> > > x+2y=1
> > > y+2x-1=0.
> > Wie stellst du dieses Gleichungssystem auf? Könnt es
> > nicht genau anders rum sein? Also:
> > x+2y=0
> > y+2x-1=1
>
> Nein.
>
> Es ist
> [mm]\green{x+2y}+i*\red{(y+2x-1)}=1=\green{1}+\red{0}*i.[/mm]
>
> Also müß jeweils das Grüne gleich sein, und das Rote.
Wenn jetzt eine 2 hinter dem Gleichheitszeichen stehen würde hieße das, dass mein Realteil=2 ist. Und was muss hinter dem Gleichheitszeichen stehen dass mein Imaginärteil nicht 0 ist? Wie sähe so eine Lösung aus?
Es ist also das Ziel auf einer Seite der Gleichung Irgendwas (eine komplexe Zahl in der Form x+iy) mit einem i und Irgendwas ohne i stehen zu haben. Was ich jetzt nur nicht verstehen, wie man denen Werte abliest?
>
> LG Angela
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> > Es ist
> > [mm]\green{x+2y}+i*\red{(y+2x-1)}=1=\green{1}+\red{0}*i.[/mm]
> >
> > Also müß jeweils das Grüne gleich sein, und das Rote.
>
> Wenn jetzt eine 2 hinter dem Gleichheitszeichen stehen
> würde hieße das, dass mein Realteil=2 ist.
Hallo,
genau.
> Und was muss
> hinter dem Gleichheitszeichen stehen dass mein
> Imaginärteil nicht 0 ist?
Eine komplexe Zahl, etwa
x+2y+(x+2y-1)*i=5+7i.
Daraus folgt
x+2y=5 und
x+2y-1=7.
LG Angela
> Wie sähe so eine Lösung aus?
>
> Es ist also das Ziel auf einer Seite der Gleichung
> Irgendwas (eine komplexe Zahl in der Form x+iy) mit einem i
> und Irgendwas ohne i stehen zu haben. Was ich jetzt nur
> nicht verstehen, wie man denen Werte abliest?
> >
> > LG Angela
> >
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:24 Fr 01.11.2013 | | Autor: | bavarian16 |
Alles Klar. Vielen Dank an Alle!
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Hallo!
Als Zusatz, da das anscheinend nicht ganz klar ist:
Du kannst das ganze ja immer so umrechnen, daß auf einer Seite 0 steht.
$ [mm] \green{x+2y}+i\cdot{}\red{(y+2x-1)}=1=\green{1}+\red{0}\cdot{}i. [/mm] $
$ [mm] \green{x+2y-1}+i\cdot{}\red{(y+2x-1)}=0=\green{0}+\red{0}\cdot{}i. [/mm] $
Denk dran, sowohl das rote als auch das grüne ist rein reell, erst durch die Multiplikation mit dem i kommt das Komplexe ins Spiel.
So kannst du nun immer sagen, daß der realteil (grün) =0 werden muß, und der imaginäre (rot*i) auch.
Aber Achtung: Du hast hier selbst gesagt, daß du die komplexe Zahl z schreiben willst als z=x+iy, wobei x und y reelle Variablen sein sollen. Angenommen, da stünde
$u+2v+i*(v+2u-1)=0$ und u, v sind als komplexe Zahlen, dann funktioniert das nicht mehr. Dann mußt du erstmal u=a+i*b und v=c+i*d ersetzen, mit reellen a, b, c, d, und dann wie gehabt umformen.
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