Gleichung mit Äquiv.Umformung? < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:06 Sa 18.11.2006 | | Autor: | pyro |
Hallo!
Ich habe hier folgende Gleichung:
[mm]\sin x -3* \cos x =1/2[/mm]
Nun kann ich diese wie folgt lösen:
[mm]
\wurzel{1- (\cos x)²} - 3* \cos x = 1/2[/mm]
Substitution: [mm]\cos x = u[/mm]
[mm]\wurzel{1-u^2}=1/2+3u[/mm]
Nun quadriere ich das Ganze (KEINE Äquivalenzumformung), und bekomme für u 2 Werte raus (-0,4622 und +0,1622). Daraus erhalte ich also je 2 Werte wo der Cosinus diesen Wert annimmt (Also 4 mögliche Lösungen). Per Probe stelle ich dann fest, dass 2 davon gültige Lösungen sind.
Nun aber meine Frage:
Geht das nicht auch eleganter? Das mit Nicht-Äquivalenzumformung und Probe ist mir nicht so ganz geheuer! Würde mich freuen wenn ihr da einen Tipp habt!
Danke schonmal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:22 So 19.11.2006 | | Autor: | rahu |
guten morgen
sin(x)-3cos(x) = 1/2 //erweitern mit 2cos(x)
sin(x)-cos(x) = 1/2+2cos(x)
[mm] cos(\pi/2-x)-cos(x) [/mm] = 1/2 + 2cos(x) //additionstheorem auf 'linken seite'
[mm] -2*cos(\pi-2x) [/mm] = 1/2+2cos(x)
0 = 1/2 + [mm] 2(cos(x)+cos(\pi-2x)) [/mm] //additionstherem zur 2.
0 = 1/2 + [mm] 2(2cos(\pi-x)*cos(\pi+x)) [/mm] // produktformel
0 = 1/2+ [mm] 4*1/2*(cos(2(\pi+x))+cos(0))
[/mm]
....
hoffe mal ich hab mich ni vertan dabei, hab aber keine zeit mehr das jetz noch zu überprüfen/zu ende zu rechnen. 
viele grüße
ralf
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:25 So 19.11.2006 | | Autor: | pyro |
Hallo!
Hm dem kann ich leider nicht ganz folgen. Den Sinus oben so als Cosinus darzustellen ist kein Problem.
Wie ich das auf [mm]-2\cdot{}cos(\pi-2x)[/mm] bringe weiß ich aber schon nicht so ganz.
Wenn ich dann schließlich zum Schluss komme, wie geht es da genau weiter? Dann muss ich doch das Ganze wieder weiter zerlegen, bis ich substituieren kann? Mit Additionstheremen und sin^2x + cos^2x = 1. Oder macht man das auch anders? Haben es bisher leider immer nur so gemacht wie ich es oben versucht hatte...
pyro
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