Gleichung mit Erwartungswert < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:01 Mi 23.05.2012 | | Autor: | Chron |
| Aufgabe | | Seien [mm] X_1,...X_n [/mm] unabhängige identisch verteilte Zufallsvariablen mit [mm] X_i [/mm] >0 für jedes i. Beweisen Sie folgende Gleichung: [mm] E(\frac{X_i}{\summe_{j=1}^{n} X_j}) [/mm] = [mm] \frac{1}{n} [/mm] |
Leider komme ich bei dieser Aufgabe nicht vorwärts, mir fehlt die Idee. Kann mir jemand ein wenig helfen?
Vielen Dank!
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Hallo Chron und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Da müsste sich doch etwas aus der identischen Verteilung, der Unabhängigkeit sowie der Linearität des Erwartungswertes machen lassen. Insbesondere ist ja
[mm]E\left(\summe_{i=1}^{n} X_i\right)=\summe_{i=1}^{n} E(X_i)[/mm]
Damit solltest du eigentlich weiterkommen.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 Mi 23.05.2012 | | Autor: | Chron |
Vielen Dank Diophant für deine Antwort. Wenn die Zufallsvariablen unabhängig sind, dann folgt ja, dass [mm] E(X_1 \dots X_n) [/mm] = [mm] E(X_1)\dots E(X_n). [/mm] Da sie identisch verteilt sind, gilt weiter [mm] E(X_1) [/mm] = [mm] \dots [/mm] = [mm] E(X_n), [/mm] oder?
Doch wie kann ich das, plus die Linearität hier anwenden?
[mm] E\left(\frac{X_i}{\summe_{j=1}^{n}X_j}\right) [/mm] = [mm] \frac{E(X_i)}{n \cdot E(X_i)}= \frac{1}{n} [/mm] wäre doch zu einfach...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:17 Mi 23.05.2012 | | Autor: | Chron |
Hmm gibt es wirklich niemanden, der mir helfen könnte? Bestimmt ist es ganz einfach, aber ich sehe es einfach nicht.
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> Vielen Dank Diophant für deine Antwort. Wenn die
> Zufallsvariablen unabhängig sind, dann folgt ja, dass
> [mm]E(X_1 \dots X_n)[/mm] = [mm]E(X_1)\dots E(X_n).[/mm] Da sie identisch
> verteilt sind, gilt weiter [mm]E(X_1)[/mm] = [mm]\dots[/mm] = [mm]E(X_n),[/mm] oder?
ja
> Doch wie kann ich das, plus die Linearität hier anwenden?
> [mm]E\left(\frac{X_i}{\summe_{j=1}^{n}X_j}\right)[/mm] =
> [mm]\frac{E(X_i)}{n \cdot E(X_i)}= \frac{1}{n}[/mm] wäre doch zu
> einfach...
Das funktioniert so nicht, da die Summe im Nenner steht.
Zur Lösung kannst du die Linearität des Erwartungswertes für [mm] Y_i=\frac{X_i}{\summe_{j=1}^{n}X_j} [/mm] und [mm] Y=\sum Y_i [/mm] ausnutzen.
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