Gleichung lösen für G=C < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:08 Mo 19.09.2011 | | Autor: | drahmas |
| Aufgabe | | [mm] x^6+19x^3-216=0 [/mm] |
Hallo,
vorausgesetzt [mm] x^2=u, [/mm] wie löse ich da bei ungeraden Hochzahlen?
[mm] x^6+19x^3-216=0
[/mm]
[mm] x^6 [/mm] wird zu [mm] u^4, [/mm] klar aber [mm] 19x^3?
[/mm]
Mit Herausheben von [mm] x^2, [/mm] etc. sehe ich auch keinen gangbaren Weg?
Beste Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:19 Mo 19.09.2011 | | Autor: | fred97 |
> [mm]x^6+19x^3-216=0[/mm]
> Hallo,
>
> vorausgesetzt [mm]x^2=u,[/mm] wie löse ich da bei ungeraden
> Hochzahlen?
>
> [mm]x^6+19x^3-216=0[/mm]
> [mm]x^6[/mm] wird zu [mm]u^4,[/mm] klar
Nein, wenn [mm] u=x^2, [/mm] dann ist [mm] x^6=u^3
[/mm]
> aber [mm]19x^3?[/mm]
Deine Substitution [mm]x^2=u[/mm] taugt nichts !
Probier mal [mm] $u=x^3$
[/mm]
FRED
>
> Mit Herausheben von [mm]x^2,[/mm] etc. sehe ich auch keinen
> gangbaren Weg?
>
> Beste Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 Mo 19.09.2011 | | Autor: | drahmas |
Aha, danke. Und wie komme ich dann auf die Lösungen
[mm] 2;-3;-1+\wurzel{3}i;-1-\wurzel{3}i;\bruch{3*(1+\wurzel{3}i)}{2};\bruch{3*(1-\wurzel{3}i)}{2}
[/mm]
Das sollte nämlich anscheinend dabei rauskommen…
|
|
|
| |
|
Hallo drahmas,
> Aha, danke. Und wie komme ich dann auf die Lösungen
>
> [mm]2;-3;-1+\wurzel{3}i;-1-\wurzel{3}i;\bruch{3*(1+\wurzel{3}i)}{2};\bruch{3*(1-\wurzel{3}i)}{2}[/mm]
>
> Das sollte nämlich anscheinend dabei rauskommen…
Vielleicht durch Nachrechnen?
Mit der vorgeschlagenen Substitution [mm]u=x^3[/mm] erhältst du eine quadratische Gleichung in [mm]u[/mm], nämlich
[mm]u^2+19u-216=0[/mm]
Das kannst du mit quadratischer Ergänzung oder p/q-Formel lösen, dann jede der beiden (schön "glatten") Lösungen in [mm]u[/mm] resubstituieren.
Das gibt dir je 3 Lösungen in [mm]x[/mm] ...
Die angegeben Lösungen habe ich nicht nachgerechnet und auch keine Lust dazu, ist ja auch deine Aufgabe.
Rechne du das nun aus und hier vor, dann können wir kontrollieren!
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 Mo 19.09.2011 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
danke für die Antwort.
schon klar, dass ich das rechnen soll. Ich habe hier nur eine recht "lückenhafte" Dokumentation was das Substituieren angeht und daher muss ich mir erst die Hälfte selbst zusammenreimen, wie das gehen könnte. U.A. wurde im Buch auch nicht erwähnt, dass man für "u" auch [mm] x^3 [/mm] oder was auch immer verwenden kann, das liest sich dort so, als ginge nur [mm] x^2. [/mm] Daher meine etwas stupide wirkendenden Fragen.
Wenn man mir jetzt noch sagt, wie man resubstituiert (wird auch nicht darauf eingegangen im Buch), dann kann ich evtl. sogar rechnen. ;)
Besten Dank
|
|
|
| |
|
Hallo drahmas,
> Hallo,
>
> danke für die Antwort.
> schon klar, dass ich das rechnen soll. Ich habe hier nur
> eine recht "lückenhafte" Dokumentation was das
> Substituieren angeht und daher muss ich mir erst die
> Hälfte selbst zusammenreimen, wie das gehen könnte. U.A.
> wurde im Buch auch nicht erwähnt, dass man für "u" auch
> [mm]x^3[/mm] oder was auch immer verwenden kann, das liest sich dort
> so, als ginge nur [mm]x^2.[/mm] Daher meine etwas stupide
> wirkendenden Fragen.
>
> Wenn man mir jetzt noch sagt, wie man resubstituiert (wird
> auch nicht darauf eingegangen im Buch), dann kann ich evtl.
> sogar rechnen. ;)
Wenn Du die Lösungen [mm]u_{1}, \ u_{2}[/mm] ermittelst hast,
dann ergeben sich die Lösungen x durch Rückgängigmachen
der Substitution zu
[mm]x_{1,2,3}=\wurzel[3]{u_{1}}[/mm]
[mm]x_{4,5,6}=\wurzel[3]{u_{2}}[/mm]
>
> Besten Dank
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:42 Di 20.09.2011 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
danke für die Antworten.
[mm] x_{1}=2 [/mm] und [mm] x_{2}=-3 [/mm] okay, aber wie ich auf [mm] x_{3;4;5;6} [/mm] komme, leuchtet mir immer noch nicht ein?
Beste Grüße
|
|
|
| |
|
Hallo drahmas,
Die Lösungen der Gleichung
[mm] x^3=1
[/mm]
sind die drei ![[]](/images/popup.gif) Einheitswurzeln [mm] x_1=1, x_2=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}, x_3=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}.
[/mm]
Deine Gleichungen sind [mm] x^3=8 [/mm] sowie [mm] x^3=-27, [/mm] unter Einbezug eines geeignetes Faktors gehen die Lösungen auseinander hervor.
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:53 Di 20.09.2011 | | Autor: | drahmas |
Okay, danke für die Antwort.
Verstanden habe ich das leider aber immer noch nicht. ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
|
|
|
| |
|
> Okay, danke für die Antwort.
> Verstanden habe ich das leider aber immer noch nicht.
>
Für [mm] x^3=8, [/mm] skaliere die Lösungen mit dem Faktor 2, da [mm] 2^3=8.
[/mm]
Die zweite Gleichung schaffst du.
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:44 Di 20.09.2011 | | Autor: | drahmas |
Ah, alles klar, jetzt hab ich verstanden wie's gemeint war.
Dann wäre der zweite Faktor (-3).
Die Faktoren sind demzufolge ja dann immer die n-te Wurzel aus [mm] u_{1;2}, [/mm] oder?
Wäre die Schreibweise [mm] (-3)*\bruch{-1+\wurzel{3i}}{2} [/mm] auch zulässig, oder ist es besser ich wandle die Vorzeichen um zu [mm] 3*\bruch{1-\wurzel{3i}}{2}?
[/mm]
Danke noch mal...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:28 Do 22.09.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ah, alles klar, jetzt hab ich verstanden wie's gemeint
> war.
> Dann wäre der zweite Faktor (-3).
> Die Faktoren sind demzufolge ja dann immer die n-te Wurzel
> aus [mm]u_{1;2},[/mm] oder?
> Wäre die Schreibweise [mm](-3)*\bruch{-1+\wurzel{3i}}{2}[/mm] auch
> zulässig, oder ist es besser ich wandle die Vorzeichen um
> zu [mm]3*\bruch{1-\wurzel{3i}}{2}?[/mm]
Das ist reine Geschmackssache, ich persönlich finde die zweite Lösung eleganter, da sie "weniger minuslastig" ist.
>
> Danke noch mal...
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:10 Mo 19.09.2011 | | Autor: | fred97 |
Die Gl.
$ [mm] u^2+19u-216=0 [/mm] $
hat die Lösungen 8 und -27
Löse also in [mm] \IC [/mm] die Gleichnungen
[mm] x^3=8
[/mm]
und
[mm] x^3= [/mm] -27
FRED
|
|
|
|
