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| Aufgabe | [mm] x_n [/mm] = [mm] 2x_{n-1} [/mm] + [mm] 2^{n}
[/mm]
[mm] x_0 [/mm] = 2 |
Hallo ,
ich muss diese inhomogene rekursive Gleichung lösen.
Wir hatten heute in der Vorlesung eine "Schritt-für-Schritt-Anleitung" bekommen und ich habe versucht, mich daran zu halten.
Ich muss als ersten Schritt die charakteristische Gleichung für den homogenen Teil aufstellen , also für [mm] 2x_{n-1}
[/mm]
Erstmal will ich den Grad haben. Für den Grad muss ich doch n-1 betrachten , oder ? Also hat der homogene Teil Grad 1
Und dann:
[mm] x^{n} [/mm] = [mm] 2x_{n-1}
[/mm]
x = 2 bzw [mm] r_1 [/mm] = 2
Und jetzt muss ich als zweiten Schritt die allg. Lösung für den homogenen Teil aufstellen für die Nullstellen r1,r2,...,rd
Da bin ich mir nicht so sicher.
Aber ich habe [mm] c*2^{n} [/mm] (homogener Teil)
Beim dritten Schritt muss ich die sogenannte "spezielle Lösung" raten und verifizieren für die Ausgangsrekursionsgleichung ohne Randbedingungen. Und dann muss ich den homogenen Teil mit der speziellen Lösung addieren.
Als Tipp : "Versuche Lösung in der Form von g(n) zu finden"
g(n) ist hier der inhomogene Teil , also [mm] 2^{n}. [/mm] Also eine Potenzfunktion.
[mm] x_n [/mm] = [mm] c^{n}
[/mm]
Dann muss gelten:
[mm] c^{n} [/mm] = [mm] 2*c^{n-1} +2^{n}
[/mm]
Ist das bis hierhin richtig ? Bin mir sicher , irgendwo ist was falsch :)
Vielen Dank im Voraus
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Hallo pc_doctor,
> [mm]x_n[/mm] = [mm]2x_{n-1}[/mm] + [mm]2^{n}[/mm]
> [mm]x_0[/mm] = 2
>
>
> Hallo ,
>
> ich muss diese inhomogene rekursive Gleichung lösen.
> Wir hatten heute in der Vorlesung eine
> "Schritt-für-Schritt-Anleitung" bekommen und ich habe
> versucht, mich daran zu halten.
>
> Ich muss als ersten Schritt die charakteristische Gleichung
> für den homogenen Teil aufstellen , also für [mm]2x_{n-1}[/mm]
> Erstmal will ich den Grad haben. Für den Grad muss ich
> doch n-1 betrachten , oder ? Also hat der homogene Teil
> Grad 1
> Und dann:
> [mm]x^{n}[/mm] = [mm]2x_{n-1}[/mm]
> x = 2 bzw [mm]r_1[/mm] = 2
>
> Und jetzt muss ich als zweiten Schritt die allg. Lösung
> für den homogenen Teil aufstellen für die Nullstellen
> r1,r2,...,rd
> Da bin ich mir nicht so sicher.
> Aber ich habe [mm]c*2^{n}[/mm] (homogener Teil)
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Beim dritten Schritt muss ich die sogenannte "spezielle
> Lösung" raten und verifizieren für die
> Ausgangsrekursionsgleichung ohne Randbedingungen. Und dann
> muss ich den homogenen Teil mit der speziellen Lösung
> addieren.
>
> Als Tipp : "Versuche Lösung in der Form von g(n) zu
> finden"
> g(n) ist hier der inhomogene Teil , also [mm]2^{n}.[/mm] Also eine
> Potenzfunktion.
>
> [mm]x_n[/mm] = [mm]c^{n}[/mm]
> Dann muss gelten:
> [mm]c^{n}[/mm] = [mm]2*c^{n-1} +2^{n}[/mm]
>
> Ist das bis hierhin richtig ? Bin mir sicher , irgendwo ist
> was falsch :)
>
Da der inhomogene Teil auch Lösung des homogenen Teils ist,
wird der Ansatz für den inhomogenen Teil so gewählt:
[mm]k*n*2^{n}[/mm]
> Vielen Dank im Voraus
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower
danke für die Antwort.
Warum wird da k*n multipliziert ? Ich kann da leider keinen Bezug zur Ausgangsrekursionsgleichung sehen.
Ich hatte es so verstanden, dass ich mir nur den inhomogenen Teil angucke [mm] (2^{n})..
[/mm]
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Hallo pc_doctor,
> Hallo MathePower
>
> danke für die Antwort.
>
> Warum wird da k*n multipliziert ? Ich kann da leider keinen
> Bezug zur Ausgangsrekursionsgleichung sehen.
> Ich hatte es so verstanden, dass ich mir nur den
> inhomogenen Teil angucke [mm](2^{n})..[/mm]
>
Weil der inhomogene Teil zugleich auch
Lösung des homogenen Teils ist.
Gruss
MathePower
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Hallo,
[mm] 2^{n} [/mm] ist also eine Lösung von [mm] 2x_{n-1}.
[/mm]
Woran erkennt man das ?
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Hallo pc_doctor,
> Hallo,
>
> [mm]2^{n}[/mm] ist also eine Lösung von [mm]2x_{n-1}.[/mm]
> Woran erkennt man das ?
[mm]2^{n}[/mm] löst die Gleichung [mm]x_{n}=2x_{n-1}[/mm].
Diese Lösung hastr Du ja selbst herausgefunden.
Gruss
MathePower
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Hallo,
stimmt.
Ich habe grad im Skript nachgeschaut und dort haben die ein ähnliches Beispiel mit [mm] 3^{n} [/mm] als inhomogener Teil.
Und dort steht , dass wenn g(n) eine Exponentialfunktion ist , wie [mm] 3^{n} [/mm] , dann solle man f(n) = c [mm] *3^{n} [/mm] ausprobieren , oder f(n)= [mm] b*n*3^{n} [/mm] usw.
Das heißt also , sobald ich eine Exponentialfunktion der Form [mm] a^{x} [/mm] habe , kann ich als spezielle Lösung immer f(n) = [mm] b*n*a^{x} [/mm] angeben , stimmt das ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:40 Mi 15.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
du meinst nicht [mm] a^x [/mm] sondern [mm] a^n.
[/mm]
Wenn [mm] a^n [/mm] nicht Lösung der homogenen gl ist dann nur [mm] b*a^n [/mm] als ansatz.
Gruß leduart
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Hallo,
danke für die Antwort.
Also haben wir jetzt
[mm] x_n [/mm] = [mm] k*n*2^{n}
[/mm]
Da wir als Ausgangsgleichung [mm] x_n [/mm] = [mm] 2x_{n-1} [/mm] + [mm] 2^{n} [/mm] hatten
Gilt nach [mm] x_n [/mm] = [mm] k*n*2^{n} [/mm] auch:
[mm] x_n [/mm] = k * [mm] 2n^{-1} [/mm] * [mm] 2^{n-1}
[/mm]
Muss ich jetzt nach k umformen ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:18 Mi 15.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Hallo,
>
> danke für die Antwort.
> Also haben wir jetzt
> [mm]x_n[/mm] = [mm]k*n*2^{n}[/mm]
>
> Da wir als Ausgangsgleichung [mm]x_n[/mm] = [mm]2x_{n-1} [/mm] + [mm]2^{n}[/mm]
> hatten
>
> Gilt nach [mm]x_n[/mm] = [mm]k*n*2^{n}[/mm] auch:
>
> [mm]x_n[/mm] = k * [mm]2n^{-1}[/mm] * [mm]2^{n-1}[/mm]
wie kommst du denn darauf? [mm] 2^n=2*2^{n-1} [/mm] aber woher denn das [mm] n^{-1}
[/mm]
das ist falsch
>
> Muss ich jetzt nach k umformen ?
ja
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Hallo,
kurz noch mal Revue passieren lassen:
Wir hatten
[mm] x_n [/mm] = [mm] 2x_{n-1} [/mm] + [mm] 2^{n}
[/mm]
bzw f(n) = 2f(n-1) + [mm] 2^{n}
[/mm]
Als spezielle Lösung dann :
f(n) = [mm] k*n*2^{n}
[/mm]
Dann muss auch gelten:
[mm] k*n*2^{n} [/mm] = k*2(n-1) * [mm] 2^{n-1} +2^{n}
[/mm]
Ich muss ja dieses [mm] k*n*2^{n} [/mm] irgendwie in die Ausgangsrekursion einsetzen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:30 Mi 15.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
jetzt richtig
gruß leduart
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Hallo,
danke.
Ich habe jetzt nach k umgeformt und habe k=1 erhalten.
Also:
[mm] n*2^{n} [/mm] = 2(n-1) [mm] *2^{n-1} [/mm] + [mm] 2^{n}
[/mm]
Und jetzt die Randbedingung [mm] x_0 [/mm] = 2 benutzen , oder ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:31 Mi 15.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
nke.
>
> Ich habe jetzt nach k umgeformt und habe k=1 erhalten.
>
> Also:
>
> [mm]n*2^{n}[/mm] = 2(n-1) [mm]*2^{n-1}[/mm] + [mm]2^{n}[/mm]
> Und jetzt die Randbedingung [mm]x_0[/mm] = 2 benutzen , oder ?
Warum machst du das so Ministückchenweise und nicht mal zu Ende?
Aber sonst ja-
du verbringst mehr zeit mit dem forum als in eigenarbeit, das ist auf die Dauer schädlich (für dich)
führ eine aufgabe ohne rückfragen zu jedem detail zu ende, post deine gesamte rechnung und dann lass sie überprüfen, nur dann lernst du was.
Gruß leduart
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Hallo,
ja , du hast Recht.
Ich habe mir alles sauber nochmal aufgeschrieben , aber ich komme bei dem Einsetzen der Randbedingung nicht weiter. Weil ich nicht weiß , wo ich hinkommen will.
Wir hatten ja f(n) = 2f(n-1) + [mm] 2^{n}
[/mm]
f(n) = [mm] k*n*2^{n}
[/mm]
[mm] k*n*2^{n} [/mm] = [mm] k*2(n-1)*2^{n-1} [/mm] + [mm] 2^{n} [/mm] (**)
Nun , ich hatte ja nach k umgeformt und für k = 1 rausbekommen.
Okay.
Wenn ich k=1 einsetze für (**), habe ich:
[mm] n*2^{n} [/mm] = 2(n-1) [mm] *2^{n-1} +2^{n}
[/mm]
Jetzt muss ich [mm] x_0 [/mm] = 2 benutzen.
Jetzt bin ich mir aber nicht sicher , für welche Seite der Gleichung.
Ich habe es so gemacht:
2 = 2(0-1) * [mm] 2^{0-1} [/mm] + [mm] 2^{0}
[/mm]
2 = -2 * [mm] 2^{-1} [/mm] + 1
2 = 0
Und das kann nicht stimmen. Wo mache ich also etwas falsch ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:08 Mi 15.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Du hast n=2 gesetzt und nicht k=2. Guck nochmal drüber.
DieAcht
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Hallo,
ich weiß leider nicht was du meinst ( sorry)
Ich habe die Randbedingung [mm] x_0 [/mm] = 2 benutzt.
Ich habe die ganze Gleichung =2 gesetzt und für n habe ich 0 eingesetzt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:39 Mi 15.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst doch jetzt das ganze f(n) einsetzen, d.h. allgemeine Lösung des homogenen + spezielle Lösung des inhomogenen!
mit der Stückelei verlierst du den überblick!
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Hallo,
ja ich bin kurz davor den Überblick zu verlieren. Ich versuche das zu verhindern.
Lösung des homogenen Teils war:
[mm] c*2^{n}
[/mm]
Lösung des inhomogenen Teils war:
k*2(n-1) * [mm] 2^{n-1} [/mm] + [mm] 2^{n}
[/mm]
K = 1
=>
2(n-1) * [mm] 2^{n-1} [/mm] + [mm] 2^{n}
[/mm]
Homogen + Inhomogen :
f(n) = [mm] c*2^{n} [/mm] + 2(n-1) * [mm] 2^{n-1} [/mm] + [mm] 2^{n}
[/mm]
Randbedingung:
[mm] x_0 [/mm] = 2
2 = c [mm] *2^{0} [/mm] + 2(0-1) * [mm] 2^{0-1} +2^{0}
[/mm]
2 = c
Ich hoffe , das ist jetzt richtig.
Danke nochmals für eure Mühe und "Schubser" !
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:09 Mi 15.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
spezielle Losung der Inhomogenen war doch [mm] f=k*n*2^n [/mm] mit k=1 also [mm] n*2^n [/mm] warum schreibst du jetzt so umständlich f=2(n-1) * [mm] 2^{n-1}+2^n [/mm] ? das ist zwar das gleiche, zeigt aber dass du die Sache nicht wirklich durchschaust!
du hast insgesamt
[mm] f(n)=C*2^n+n*2^n
[/mm]
damit f(0)=C=2 richtig.
schwere Geburt. Wenn ich jetzt nicht richtig gesagt hätte könntest du ja x1,x1,x3 einfach a) mit der rekursionsformel, b) mit der Formel [mm] x_n=2^{n+^}+n*2^n [/mm] ausrechnen, um dich zu überzeugen!
tu das doch trotz meines richtig.
Und bei der nächsten Frage nicht mehr so kleinschrittig, sondern mit mehr Selbstvertrauen und Eigenkontrolle arbeiten.
Gruß leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:14 Mi 15.01.2014 | | Autor: | pc_doctor |
Vielen Dank für deine Hilfe.
Das ist so ne Sache , wenn man das noch nie gemacht hat , muss man die Feinheiten herausspüren. Bin froh , dass die Aufgabe erledigt ist. Habe vieles gelernt nach den ganzen Antworten. Vielen Dank für eure aufgebrachte Mühe !
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