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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:23 Sa 19.01.2013 | | Autor: | Lewser |
| Aufgabe | Lösen sie nach x auf:
[mm] \bruch{12x}{x^{2}+x-6}-2=\bruch{x+1}{x-2} [/mm] |
Meine Ansatz dazu ist:
-2 auf der linken Seite erweitern, damit ich auf beiden Seiten nur einen Bruch stehen habe, jeweils mit dem Nenner der gegenüberliegenden Seite multiplizieren, dann ausmultiplizieren, sortieren und je nach Ergebnis Polynomdivision und/oder pq-Formel ...
Die R3echnung dazu kann ich noch nicht hinschreiben, da ich vorhin einen Fehler gemacht habe und jetzt parallel zur Fragestellung noch einmal neu rechnen muss.
Meine Frage wäre zusätzlich: irgendwie habe ich das Gefühl es geht wesentlich einfacher ... stimmt das oder täusche ich mich?
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Hallo Lewser,
> Lösen sie nach x auf:
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> [mm]\bruch{12x}{x^{2}+x-6}-2=\bruch{x+1}{x-2}[/mm]
> Meine Ansatz dazu ist:
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> -2 auf der linken Seite erweitern, damit ich auf beiden
> Seiten nur einen Bruch stehen habe, jeweils mit dem Nenner
> der gegenüberliegenden Seite multiplizieren, dann
> ausmultiplizieren, sortieren und je nach Ergebnis
> Polynomdivision und/oder pq-Formel ...
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> Die R3echnung dazu kann ich noch nicht hinschreiben, da ich
> vorhin einen Fehler gemacht habe und jetzt parallel zur
> Fragestellung noch einmal neu rechnen muss.
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> Meine Frage wäre zusätzlich: irgendwie habe ich das
> Gefühl es geht wesentlich einfacher ... stimmt das oder
> täusche ich mich?
Auf der einen Seite: ja, es geht einfacher. Auf der anderen Seite hast du aber gleich zu Beginn einen entscheidenden Schritt vergessen.
Bei einer Bruchgleichung sollte man, bevor man anfängt zu rechnen, die Definitionsmenge angeben. Diese besteht aus allen reellen zahlen mit Ausnahme sämtlicher Nennernullstellen.
Dann würde ich auch die Differenz auf der linken Seite zusammenfassen. Hernach aber nicht mit beiden Einzelnennern multiplizieren, sondern mit dem Hauptnenner. Dieser ist per Definition der kleinste gemeinsame Nenner und man findet ihn bekanntlich mit Hilfe der Vereinigungsmenge der Primfaktoren, das ist bei Polynomen nicht anders wie bei Zahlen.
Es müsste dann eine quadratische Gleichung entstaehen, die man bspw. mit der pq-Formel lösen kann. Die Lösungen dieser Gleichung muss man aber noch daraufhin überprüfen, ob sie auch Lösungen der Bruchgleichung sind. Sie sind es, wenn sie in der Definitionsmenge enthalten sind. Der Grund hierfür ist ein enfacher: du multiplizierst mit einem Term, der Nullstellen besitzt, um die Nenner wegzubekommen. Es bleibt ja gar nichts anderes übrig, als dies zu tun. Aber es ist eben wieder eine nichtäquivalente Umformung, und wieder eine von der Sorte, die einem zusätzliche Scheinlösungen beschert.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:47 Sa 19.01.2013 | | Autor: | Lewser |
Ah super, stimmt. Danach habe ich ja gestern im Prinzip schon gefragt. Dann fällt eine Lösung von mir weg, Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:56 Sa 19.01.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo Lewser,
> Ah super, stimmt. Danach habe ich ja gestern im Prinzip
> schon gefragt. Dann fällt eine Lösung von mir weg, Vielen
> Dank!
Das sehe ich anders. Ich habe gerade durchgerechnet und erhalte zwei Lösungen für die Gleichung, nämlich
[mm] \IL=\{-1;3\}
[/mm]
Gruß, Diophant
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