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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:40 Sa 19.01.2008 | | Autor: | M4rc |
| Aufgabe | Gegeben ist die Gleichung [mm] sin(x)+3*cos(x)=a*sin(x+\varphi)
[/mm]
berechnen Sie a und phi
Es gilt das Additionstheorem:
[mm] sin(\alpha+\beta)=sin(\alpha)*cos(\beta)+sin(\beta)*cos(\alpha) [/mm] |
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Das einzige was ich hinbekommen ist das Additionstheorem anzuwenden so das das ganze dann so aussieht:
[mm] sin(x)+3*cos(x)=a*(sin(x)*cos(\varphi)+sin(\varphi)*cos(x))
[/mm]
hab mal probiert durch sin(x) zu dividieren
da bleibt ja über: [mm] 3cot(x)=a*cos(\varphi)+a*sin(\varphi)*cot(x)
[/mm]
und falls das was bringen sollte komm ich jetzt jedenfalls nicht weiter...
danke für hilfe
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Hallo,
> Gegeben ist die Gleichung [mm]sin(x)+3*cos(x)=a*sin(x+\varphi)[/mm]
>
> berechnen Sie a und phi
Das kann man so machen: Zuerst fragt man sich, wo denn die linke Funktion ein Maximum hat [mm] (2\pi-periodisch [/mm] ist sie ohnehin):
$f(x) = sin(x)+3*cos(x)$
$f'(x) = cos(x) -3sin(x) = 0$
[mm] \gdw [/mm] $tan(x) = [mm] \bruch{1}{3}$ [/mm]
[mm] \gdw [/mm] $x = arctan [mm] \bruch{1}{3}$ [/mm] also [mm] x_1 [/mm] = 0,3218
Praktischerweise haben wir hier ein Maximum erwischt, brauchen also nicht umrechnen.
Also ist $a = [mm] f(x_1) [/mm] = 3,1623$
Jetzt liegt ein Maximum einer unverschobenen Sinusfunktion ja bei [mm] \bruch{\pi}{2}. [/mm]
Die unverschobene Sinusfunktion a*sin(x) muss also um [mm] $\bruch{\pi}{2}-x_1 [/mm] = 1,2490 $ nach links verschoben werden, damit sie mit f(x) zur Deckung kommt. Also
[mm] $a*sin(x+\varphi) [/mm] = 3,1623*sin(x+1,2490)$
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 Sa 19.01.2008 | | Autor: | M4rc |
Warum ist a=f(x1)
und wäre das denn die lösung für x?
sinx+3*cos=sinx*cos1,249+sin1,2490+cosx
sinx-3,1623+sinx*cos1,2490=sin1,2490*cosx*3,1623*cosx
sinx(1-3,1623*cos1,2490)=cosx(sin1,2490*3,1623-3)
tanx= (sin1,2490*3,1623-3)/(1-3,1623*cos1,2490)
x= arctan (sin1,2490*3,1623-3)/(1-3,1623*cos1,2490)
x=53,59
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Hallo,
> Warum ist a=f(x1)
Weil [mm] x_1 [/mm] ein Maximum von f(x)= sin(x)+3cos(x) ist; der maximale Funktionswert von [mm] f(x_1) [/mm] ist die Amplitude a der Sinus-Schwingung (=maximale Auslenkung) auf der rechten Seite der Gleichung.
>
> und wäre das denn die lösung für x?
x ist die unabhängige Variable - danach ist nicht gefragt.
Gefragt ist nach a und [mm] \varphi [/mm] - also nach einer Funktion von x in der Form f(x) = [mm] a*sin(x+\varphi).
[/mm]
> sinx+3*cos=sinx*cos1,249+sin1,2490+cosx
>
> sinx-3,1623+sinx*cos1,2490=sin1,2490*cosx*3,1623*cosx
>
> sinx(1-3,1623*cos1,2490)=cosx(sin1,2490*3,1623-3)
>
> tanx= (sin1,2490*3,1623-3)/(1-3,1623*cos1,2490)
>
> x= arctan (sin1,2490*3,1623-3)/(1-3,1623*cos1,2490)
>
> x=53,59
Das kann ich nicht nachvollziehen.
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:34 So 20.01.2008 | | Autor: | M4rc |
Achso, ja macht Sinn, wer lesen kann ist klar im vorteil.
Danke
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