Gleichung lösen < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es gibt ein x ∈ R, so dass [mm] e^x-3e^-x=2 [/mm] ist. |
Hallo habe vieles schon ausprobiert z.b das hier wollte aber nicht iwie klappen:
[mm] e^x [/mm] - 3e^-x=2
[mm] e^x [/mm] - 3e/x = 2
[mm] (x*e^x [/mm] - 3e)/x = 2
...
mehr geht auch net ..hoffe jemand kann mir die rechenschritte erklären.
Mfg
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Hallo, substituiere [mm] e^x=a, [/mm] dann ist eine quadratische Gleichung zu lösen, Steffi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:51 Di 02.06.2015 | | Autor: | abakus |
> Es gibt ein x ∈ R, so dass [mm]e^x-3e^-x=2[/mm] ist.
> Hallo habe vieles schon ausprobiert z.b das hier wollte
> aber nicht iwie klappen:
> [mm]e^x[/mm] - 3e^-x=2
> [mm]e^x[/mm] - 3e/x = 2
> [mm](x*e^x[/mm] - 3e)/x = 2
> ...
> mehr geht auch net ..hoffe jemand kann mir die
> rechenschritte erklären.
> Mfg
Hallo,
da laut der hier geposteten Aufgabenstellung die Angabe der konkreten Lösung nicht zwingend verlangt ist, genügt auch folgendes:
(1) Gib ein x an, für das [mm]f(x)=e^x-3e^{-x}-2 > 0[/mm] gilt.
(2) Gib ein x an, für das [mm]f(x)=e^x-3e^{-x}-2 < 0[/mm] gilt.
(3) Weise nach, dass f stetig ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:23 Mi 03.06.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Es gilt:
[mm] $e^{x}-3e^{-x}=2 |\cdot e^{x}$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow\left(e^{x}\right)^{2}-3=2e^{x} |-2e^{x}$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow\left(e^{x}\right)^{2}-2e^{x}-3=0 [/mm] $
Nun nutze Steffis Tipp.
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:49 Mi 03.06.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Marius!
> [mm]e^{x}-3e^{-x}=2 |\cdot e^{-x}[/mm]
Du meinst [mm] |*e^x.
[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow\left(e^{x}\right)^{2}-3=2e^{x} |\cdot e^{x}[/mm]
Wieso [mm] $|*e^x$ [/mm] ?
> [mm]\Leftrightarrow\left(e^{x}\right)^{2}+2e^{x}-3=0[/mm]
Du meinst
[mm] \left(e^{x}\right)^{2}-2e^{x}-3=0.
[/mm]
Also:
[mm] $e^{x}-3e^{-x}=2$
[/mm]
[mm] $\Longleftrightarrow \left(e^x\right)^2-3*1=2*e^x$
[/mm]
[mm] $\Longleftrightarrow \left(e^x\right)^2-2*e^x-3=0$.
[/mm]
> Nun nutze Steffis Tipp.
Ja.
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:55 Mi 03.06.2015 | | Autor: | M.Rex |
Halo DieAcht.
Danke fürs Korrigieren, ich verbessere meine Antwort gleich noch.
Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:10 Mi 03.06.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo canyakan95!
Wir setzen
[mm] f(x):=e^x-3*e^{-x}-2.
[/mm]
Wegen
[mm] f'(x)=e^x+3*e^{-x}>0 [/mm] für alle [mm] x\in\IR [/mm] (Warum?)
ist [mm] $f\$ [/mm] streng monoton wachsend und besitzt somit genau eine
Nullstelle. Nun haben wir sogar gezeigt, dass es genau ein
[mm] x\in\IR [/mm] gibt, das die Gleichung [mm] e^x-3*e^{-x}=2 [/mm] löst.
Gruß
DieAcht
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