Gleichung lösen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] z\overline{z} [/mm] + [mm] 3(z-\overline{z}) [/mm] = 4-3i |
Hallo,
ich soll rausfinden, welche kompl. Zahlen z diese Gleichung lösen.
Wir haben den Tipp bekommen, erst mal z als z = x+iy aufzuschreiben.
Doch das bringt mich leider nicht weiter.
Also ich habe es umgeformt zu :
(x+iy)(x-iy) + 3 ((x+iy)-(x-iy)) = 4-3i
So, wenn ich mir nun die rechte Seite anschaue , ist x = 4 und y = -3 ( Real-und Imaginärteil). Ich habe mir gedacht , die 4 und -3 in die linke Seite der Gleichung einzusetzen, aber ich weiß nicht, ob ich damit nicht auf dem Holzweg wäre.
Wäre dankbar für einen Tipp.
Vielen Dank im Voraus.
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Hallo,
> [mm]z\overline{z}[/mm] + [mm]3(z-\overline{z})[/mm] = 4-3i
> Hallo,
> ich soll rausfinden, welche kompl. Zahlen z diese
> Gleichung lösen.
>
> Wir haben den Tipp bekommen, erst mal z als z = x+iy
> aufzuschreiben.
>
> Doch das bringt mich leider nicht weiter.
> Also ich habe es umgeformt zu :
>
> (x+iy)(x-iy) + 3 ((x+iy)-(x-iy)) = 4-3i
Das ist nicht falsch. Wenn du ein wenig aufgepasst hast oder in deinen Unterlagen kramst, sollten sich sowohl für [mm] z*\overline{z} [/mm] als auch für [mm] z-\overline{z} [/mm] extrem einfache und naheligende Vereinfachungen auffinden lassen (die man aber durch stures Ausrechnen natürlich auch erhält).
> So, wenn ich mir nun die rechte Seite anschaue , ist x = 4
Nein.
> und y = -3 ( Real-und Imaginärteil).
Ebenfalls: Nein!
> Ich habe mir gedacht
> , die 4 und -3 in die linke Seite der Gleichung
> einzusetzen, aber ich weiß nicht, ob ich damit nicht auf
> dem Holzweg wäre.
Völlig auf dem Holzweg, ja.
vereinfache doch einmal die linke Seite soweit, dass du überhaupt siehst, wie dort Real- und Imaginärteil aussehen. Dann kannst du mit der linken Seite vergleichen.
Und mit ein wenig Überlegung hätte es dir auch von vorn herein zumindest hinterfragenswert vorkommen müssen, dass da nur eine Lösung herauskommt. Immerhin ist es vom Prinzip her eine quadratische Gleichung. Und so viel sei verraten: es kommen zwei Lösungen heraus.
Gruß, Diophant
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Hallo nochmal,
tatsächlich; [mm] z*\overline{z} [/mm] ist [mm] |z|^{2}, [/mm] danke.
Damit vereinfacht sich die Gleichung zu:
[mm] |z|^{2} [/mm] +6iy = 4-3i
Ich kann aber immer noch nicht den Real-und Imaginärteil bestimmen, oder ? Mich stört das y vor 6i noch.
Mir ist halt nicht klar, ob man das einfach wie ne "normale" Gleichung lösen soll, oder ob es ein allgemeines Verfahren bei solchen Problemen gibt.
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Hallo,
> Hallo nochmal,
>
> tatsächlich; [mm]z*\overline{z}[/mm] ist [mm]|z|^{2},[/mm] danke.
>
> Damit vereinfacht sich die Gleichung zu:
>
> [mm]|z|^{2}[/mm] +6iy = 4-3i
>
> Ich kann aber immer noch nicht den Real-und Imaginärteil
> bestimmen, oder ?
Hast du schonmal was von
[mm] |z|=\wurzel{x^2+y^2}
[/mm]
gehört? 
> Mich stört das y vor 6i noch.
>
> Mir ist halt nicht klar, ob man das einfach wie ne
> "normale" Gleichung lösen soll, oder ob es ein allgemeines
> Verfahren bei solchen Problemen gibt.
Verstehen der Definitionen und Konzepte, Nachdenken, welche der Definitionen/Konzepte in Frage kommen, Gründlichkeit bei der Umsetzung und last but not least: eine ehrliche Evaluierung der erzielten Resultate. Das finde ich persönlich ein gutes Patentrezept. Und es klappt nicht nur bei komplexen Zahlen, sondern überall in der Mathematik! 
Gruß, Diophant
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Hallo,
ja, das kenne ich auch. Ich habe die ganze Zeit überlegt, wie ich irgendwie was umformen kann, auf die andere Seite bringen kann etc , aber ich komme da auf keinen festen Boden.
Ich meine, bei dieser Gleichung:
[mm] \wurzel{x^{2} + y^{2}} [/mm] + 6iy = 4-3i weiß ich einfach nicht, was ich machen soll.
Sorry, dass es bisschen lange bei mir dauert, aber wenn man zum ersten Mal sowas vor sich hat , braucht man halt bisschen. Wenn ich dann später den Dreh raus hab, ist das natürlich pipifax. Aber ich muss das erst einmal verstehen. Ich meine , das ist ne Gleichung mit 2 Unbekannten (ohne i), kommt mir halt bisschen spanisch vor.
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Hallo pc_doctor,
> Hallo,
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> ja, das kenne ich auch. Ich habe die ganze Zeit überlegt,
> wie ich irgendwie was umformen kann, auf die andere Seite
> bringen kann etc , aber ich komme da auf keinen festen
> Boden.
>
> Ich meine, bei dieser Gleichung:
>
> [mm]\wurzel{x^{2} + y^{2}}[/mm] + 6iy = 4-3i weiß ich einfach
> nicht, was ich machen soll.
>
Es muss doch hier so lauten:
[mm]x^{2} + y^{2} + 6iy = 4-3i[/mm]
Naheliegend ist der Vergleich von
Real- und Imaginärteil beider Seiten.
> Sorry, dass es bisschen lange bei mir dauert, aber wenn man
> zum ersten Mal sowas vor sich hat , braucht man halt
> bisschen. Wenn ich dann später den Dreh raus hab, ist das
> natürlich pipifax. Aber ich muss das erst einmal
> verstehen. Ich meine , das ist ne Gleichung mit 2
> Unbekannten (ohne i), kommt mir halt bisschen spanisch vor.
Gruss
MathePower
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> [mm]x^{2} + y^{2} + 6iy = 4-3i[/mm]
>
> Naheliegend ist der Vergleich von
> Real- und Imaginärteil beider Seiten.
Hallo,
auf der linken Seite ist der Realteil 4, Imaginärteil -3
auf der rechten Seite ist der Realteil 1 ? Imaginärteil 6y.
Kann ich jetzt den Imaginärteil von der linken Seite der Gleichung in das y der rechten Seite der Gleichung einsetzen ? Irgendwie muss man ja das y rauskriegen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:15 Mi 14.05.2014 | | Autor: | abakus |
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> > [mm]x^{2} + y^{2} + 6iy = 4-3i[/mm]
> >
> > Naheliegend ist der Vergleich von
> > Real- und Imaginärteil beider Seiten.
>
> Hallo,
>
> auf der linken Seite ist der Realteil 4, Imaginärteil -3
>
> auf der rechten Seite ist der Realteil 1 ? Imaginärteil
> 6y.
Letztes stimmt, Ersteres nicht.
Wenn x und y reelle Zahlen sind, dann ist [mm] $x^2+y^2$ [/mm] auch eine reelle Zahl. Da der hintere Summand 6iy "rein komplex" ist, bildet [mm] $x^2+y^2$ [/mm] den alleinigen Realteil.
Gruß Abakus
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> Kann ich jetzt den Imaginärteil von der linken Seite der
> Gleichung in das y der rechten Seite der Gleichung
> einsetzen ? Irgendwie muss man ja das y rauskriegen.
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