Gleichung lösen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Berechnen Sie alle Lösungen folgender Gleichungen:
a) [mm] z^2 [/mm] -4iz +4z -8i = 0
b) [mm] z^2 [/mm] + 2(1+i)z = 1-3i
c) [mm] (z-3i)^2 [/mm] + [mm] (z-4i)^2 [/mm] + 25 = 0
d) (z-1-2i)z = 3-i
e) [mm] \bruch{z -3}{z-i}+ \bruch{z - 4+i}{z-1} [/mm] = [mm] -\bruch{4}{z^2 -z - iz+i} [/mm] |
a)
0 = [mm] z^2 [/mm] -4iz +4z -8i
0 = [mm] z^2 [/mm] +z(-4i+4) -8i
0 = [mm] z^2 [/mm] +z(-4i+4) + [mm] (\bruch{-4i+4}{2})^2 [/mm] - [mm] (\bruch{-4i+4}{2})^2 [/mm] -8i
(z + (-2i [mm] +2))^2 [/mm] = [mm] (-2i+2)^2 [/mm] + 8i
z = [mm] +-\wurzel{(-2i+2)^2 + 8i} [/mm] +2i -2
[mm] +-\wurzel{(-2i+2)^2 + 8i} [/mm] = 0
weil: [mm] (-2i+2)^2 [/mm] + 8i = [mm] 4i^2-8i+4+8i [/mm] = 0
hier gibt es nur eine lösung oder?
z = 2i -2
b)
0 = [mm] z^2 [/mm] + z(2+2i)+3i-1
0 = [mm] z^2 [/mm] + z(2+2i)+ [mm] (\bruch{2+2i}{2})^2 -(\bruch{2+2i}{2})^2 [/mm] + 3i-1
(z + [mm] 1+i)^2 [/mm] = 1-i
[mm] z_{1,2} [/mm] = [mm] +-\wurzel{1-i} [/mm] -1-i
[mm] z_{1,2} [/mm] = +- [mm] \wurzel{\wurzel{2}e^{\bruch{3 \pi*i}{4}}} [/mm] -1-i
[mm] z_{1,2} [/mm] = [mm] +-\wurzel{\wurzel{2}} [/mm] ( [mm] cos(\bruch{3 \pi}{4})+i*sin(\bruch{3 \pi}{4}))-1-i
[/mm]
[mm] z_1 [/mm] = [mm] \wurzel{\wurzel{2}} (-\bruch{\wurzel{2}}{2}+ i\bruch{\wurzel{2}}{2}) [/mm] -1-i = -1,84 - 0,16i
[mm] z_2 [/mm] = - [mm] \wurzel{\wurzel{2}} (-\bruch{\wurzel{2}}{2}+ i\bruch{\wurzel{2}}{2}) [/mm] -1-i = -0,16 - 1,84i
ich bitte um Korrektur
|
|
| |
|
Hallo arbeitsamt!
> 0 = [mm]z^2[/mm] -4iz +4z -8i
>
> 0 = [mm]z^2[/mm] +z(-4i+4) -8i
>
> 0 = [mm]z^2[/mm] +z(-4i+4) + [mm](\bruch{-4i+4}{2})^2[/mm] - [mm](\bruch{-4i+4}{2})^2[/mm] -8i
>
> (z + (-2i [mm]+2))^2[/mm] = [mm](-2i+2)^2[/mm] + 8i
>
> z = [mm]+-\wurzel{(-2i+2)^2 + 8i}[/mm] +2i -2
>
> [mm]+-\wurzel{(-2i+2)^2 + 8i}[/mm] = 0
>
> weil: [mm](-2i+2)^2[/mm] + 8i = [mm]4i^2-8i+4+8i[/mm] = 0
>
> hier gibt es nur eine lösung oder?
>
> z = 2i -2
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Das sieht gut aus ...
Geuß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
Hallo,
dann will ich mal die b) übernehmen:
> Berechnen Sie alle Lösungen folgender Gleichungen:
> b) [mm]z^2[/mm] + 2(1+i)z = 1-3i
>
> 0 = [mm]z^2[/mm] + z(2+2i)+3i-1
>
> 0 = [mm]z^2[/mm] + z(2+2i)+ [mm](\bruch{2+2i}{2})^2 -(\bruch{2+2i}{2})^2[/mm]
> + 3i-1
>
> (z + [mm]1+i)^2[/mm] = 1-i
>
> [mm]z_{1,2}[/mm] = [mm]+-\wurzel{1-i}[/mm] -1-i
Bis hierher passt alles. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]z_{1,2}[/mm] = +- [mm]\wurzel{\wurzel{2}e^{\bruch{3 \pi*i}{4}}}[/mm] -1-i
Hier ist dir beim Umrechnen in die Polardarstellung beim Argument ein Fehler unterlaufen. Entweder sind das [mm] 7/4\pi, [/mm] oder wegen mir [mm] -\pi/4. [/mm] Aber dein Argument würde zu der Zahl -1+i gehören!
>
> [mm]z_{1,2}[/mm] = [mm]+-\wurzel{\wurzel{2}}[/mm] ( [mm]cos(\bruch{3 \pi}{4})+i*sin(\bruch{3 \pi}{4}))-1-i[/mm]
>
> [mm]z_1[/mm] = [mm]\wurzel{\wurzel{2}} (-\bruch{\wurzel{2}}{2}+ i\bruch{\wurzel{2}}{2})[/mm]
> -1-i = -1,84 - 0,16i
>
> [mm]z_2[/mm] = - [mm]\wurzel{\wurzel{2}} (-\bruch{\wurzel{2}}{2}+ i\bruch{\wurzel{2}}{2})[/mm]
> -1-i = -0,16 - 1,84i
>
Von daher kann jetzt der Rest auch nicht stimmen, wobei mir auch deine Vorgehensweise falsch erschint. Da muss man auf jeden Fall noch die Moivre-Formel anwenden!
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
> wobei mir auch deine Vorgehensweise falsch erschint.
ja ich habe vergessen wegen der wurzel den winkel zu halbieren
[mm] z_{1,2} [/mm] = [mm] +-\wurzel{1-i} [/mm] -1-i
[mm] z_{1,2} [/mm] = [mm] +-\wurzel{\wurzel{2}*e^{\bruch{i*7 \pi}{3}}} [/mm] -1-i
[mm] z_{1,2} [/mm] = +- [mm] \wurzel{\wurzel{2}} [/mm] * [mm] \wurzel{e^{\bruch{i*7 \pi}{3}}}-1-i
[/mm]
[mm] z_{1,2} [/mm] = +- [mm] \wurzel{\wurzel{2}} [/mm] * [mm] e^{\bruch{i*7 \pi}{6}} [/mm] -1-i
[mm] z_{1,2} [/mm] = +- [mm] \wurzel{\wurzel{2}} [/mm] ( [mm] cos(\bruch{7 \pi}{6}) +i*sin(\bruch{7 \pi}{6})) [/mm] -1-i
[mm] z_{1,2} [/mm] = +- [mm] \wurzel{\wurzel{2}} [/mm] (- [mm] \bruch{\wurzel{3}}{2} [/mm] + i* [mm] \bruch{-1}{2}) [/mm] -1 -i
[mm] z_1 [/mm] = -2 -1,6i
[mm] z_2 [/mm] = 0,03 - 0,41i
ich bitte um korrektur
|
|
|
| |
|
Hallo,
>
> > wobei mir auch deine Vorgehensweise falsch erschint.
>
> ja ich habe vergessen wegen der wurzel den winkel zu
> halbieren
>
>
> [mm]z_{1,2}[/mm] = [mm]+-\wurzel{1-i}[/mm] -1-i
>
> [mm]z_{1,2}[/mm] = [mm]+-\wurzel{\wurzel{2}*e^{\bruch{i*7 \pi}{3}}}[/mm]
> -1-i
Ne, ne, ne: es müssen [mm] 7/4\pi [/mm] sein!
>
> [mm]z_{1,2}[/mm] = +- [mm]\wurzel{\wurzel{2}}[/mm] * [mm]\wurzel{e^{\bruch{i*7 \pi}{3}}}-1-i[/mm]
>
> [mm]z_{1,2}[/mm] = +- [mm]\wurzel{\wurzel{2}}[/mm] * [mm]e^{\bruch{i*7 \pi}{6}}[/mm]
> -1-i
>
> [mm]z_{1,2}[/mm] = +- [mm]\wurzel{\wurzel{2}}[/mm] ( [mm]cos(\bruch{7 \pi}{6}) +i*sin(\bruch{7 \pi}{6}))[/mm]
> -1-i
>
> [mm]z_{1,2}[/mm] = +- [mm]\wurzel{\wurzel{2}}[/mm] (- [mm]\bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm] +
> i* [mm]\bruch{-1}{2})[/mm] -1 -i
>
> [mm]z_1[/mm] = -2 -1,6i
>
> [mm]z_2[/mm] = 0,03 - 0,41i
>
Alles nochmal auf Anfang; und ganz ehrlich: wenn man beim Berechnen solcher Aufgaben das Ergebnis mit gerundeten Dezimalzahlen angibt, dann ist das in etwa so, wie wenn man an eine richtig teure ![[]](/images/popup.gif) Rennmaschine Stützräder montiert... 
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
[mm] \alpha [/mm] = arc tan [mm] (\bruch{-1}{1})+2 \pi [/mm] = [mm] \bruch{7\pi}{4}
[/mm]
[mm] z_{1,2} [/mm] = [mm] +-\wurzel{1-i} [/mm] -1-i
[mm] z_{1,2} [/mm] = [mm] +-\wurzel{\wurzel{2}*e^{\bruch{i*7 \pi}{4}}} [/mm] -1-i
[mm] z_{1,2} [/mm] = +- [mm] \wurzel{\wurzel{2}} [/mm] * [mm] \wurzel{e^{\bruch{i*7 \pi}{4}}}-1-i
[/mm]
[mm] z_{1,2}= [/mm] +- [mm] \wurzel{\wurzel{2}} [/mm] * [mm] e^{\bruch{i*7 \pi}{8}} [/mm] -1-i
[mm] z_{1,2} [/mm] = +- [mm] \wurzel{\wurzel{2}} [/mm] ( [mm] cos(\bruch{7 \pi}{8}) +i*sin(\bruch{7 \pi}{8})) [/mm] -1-i
[mm] z_{1,2} [/mm] = +- [mm] \wurzel{\wurzel{2}} [/mm] (- 0,92 +i* 0,38) -1 -i
[mm]z_1[/mm] = -2,1 - 0,55i
[mm]z_2[/mm] = 0,09 - 1,45i
so besser?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> [mm]\alpha[/mm] = arc tan [mm](\bruch{-1}{1})+2 \pi[/mm] = [mm]\bruch{7\pi}{4}[/mm]
>
>
> [mm]z_{1,2}[/mm] = [mm]+-\wurzel{1-i}[/mm] -1-i
>
> [mm]z_{1,2}[/mm] = [mm]+-\wurzel{\wurzel{2}*e^{\bruch{i*7 \pi}{4}}}[/mm]
> -1-i
>
> [mm]z_{1,2}[/mm] = +- [mm]\wurzel{\wurzel{2}}[/mm] * [mm]\wurzel{e^{\bruch{i*7 \pi}{4}}}-1-i[/mm]
>
> [mm]z_{1,2}=[/mm] +- [mm]\wurzel{\wurzel{2}}[/mm] * [mm]e^{\bruch{i*7 \pi}{8}}[/mm]
> -1-i
>
> [mm]z_{1,2}[/mm] = +- [mm]\wurzel{\wurzel{2}}[/mm] ( [mm]cos(\bruch{7 \pi}{8}) +i*sin(\bruch{7 \pi}{8}))[/mm]
> -1-i
>
> [mm]z_{1,2}[/mm] = +- [mm]\wurzel{\wurzel{2}}[/mm] (- 0,92 +i* 0,38) -1 -i
>
>
> [mm]z_1[/mm] = -2,1 - 0,55i
>
> [mm]z_2[/mm] = 0,09 - 1,45i
>
> so besser?
Nicht wirklich. Die Sache mit den Winkeln stimmt jetzt, aber die Lösungen sind immer noch extrem unschön. Es geht mal damit los:
[mm] \wurzel{\wurzel{2}}=\wurzel[4]{2}
[/mm]
Kommt halt jetzt auch drauf an, was du machen möchtest: Mathematik oder dröges Rechnen.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
c)
0 = [mm] (z-3i)^2 [/mm] + [mm] (z-4i)^2 [/mm] + 25
0 = [mm] 2z^2 [/mm] - 6zi-8zi
0 = [mm] z^2 [/mm] +z (-3i -4i)
[mm] z_1 [/mm] = 0
[mm] z_2 [/mm] = 7i
d)
(z-1-2i)z = 3-i
0 = [mm] z^2+ [/mm] z(-1-2i) -3+i
0 = [mm] z^2+ [/mm] z(-1-2i) [mm] +(\bruch{-1-2i}{2})^2 -(\bruch{-1-2i}{2})^2 [/mm] -3+i
(z - [mm] \bruch{1}{2}-i)^2 [/mm] = [mm] (\bruch{-1}{2}-i)^2 [/mm] +3 -i
(z - [mm] \bruch{1}{2}-i)^2 [/mm] = 2,25
[mm] z_1 [/mm] = [mm] \wurzel{2,25} [/mm] +0,5 +i
[mm] z_2 [/mm] = [mm] -\wurzel{2,25} [/mm] +0,5 +i
ich bitte um korrektur
|
|
|
| |
|
Hallo arbeitsamt!
> 0 = [mm](z-3i)^2[/mm] + [mm](z-4i)^2[/mm] + 25
>
> 0 = [mm]2z^2[/mm] - 6zi-8zi
>
> 0 = [mm]z^2[/mm] +z (-3i -4i)
Hier vermisse noch einen Zwischenschritt, zumal Du zuvor sehr kleinschrittig aufgeschrieben hast.
> [mm]z_1[/mm] = 0
>
> [mm]z_2[/mm] = 7i
Aber das Ergebnis stimmt.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
Hallo arbeitsamt!
> (z-1-2i)z = 3-i
>
> 0 = [mm]z^2+[/mm] z(-1-2i) -3+i
>
> 0 = [mm]z^2+[/mm] z(-1-2i) [mm]+(\bruch{-1-2i}{2})^2 -(\bruch{-1-2i}{2})^2[/mm] -3+i
>
> (z - [mm]\bruch{1}{2}-i)^2[/mm] = [mm](\bruch{-1}{2}-i)^2[/mm] +3 -i
>
> (z - [mm]\bruch{1}{2}-i)^2[/mm] = 2,25
>
> [mm]z_1[/mm] = [mm]\wurzel{2,25}[/mm] +0,5 +i
>
> [mm]z_2[/mm] = [mm]-\wurzel{2,25}[/mm] +0,5 +i
Grundsätzlich bis hierhin .
Aber was ergibt denn [mm] $\wurzel{2{,}25}$ [/mm] ? Das lässt sich schön ausrechnen und zusammenfassen.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
danke euch beiden.
habe ich die lettze gleichung richtig gelöst?
e)
[mm] \bruch{z -3}{z-i}+ \bruch{z - 4+i}{z-1} [/mm] = [mm] -\bruch{4}{z^2 -z - iz+i}
[/mm]
[mm] \bruch{z^2-z-3z+3}{z^2 -z - iz+i} [/mm] + [mm] \bruch{z^2-zi-4z+4i+zi-i^2}{z^2 -z - iz+i} [/mm] = [mm] -\bruch{4}{z^2 -z - iz+i}
[/mm]
[mm] \bruch{2z^2-8z+4i+4}{z^2 -z - iz+i}= -\bruch{4}{z^2 -z - iz+i}
[/mm]
-4 = [mm] 2z^2-8z+4i+4
[/mm]
0 = [mm] z^2-4z-2i+4
[/mm]
[mm] (z-2)^2 [/mm] = -2i
[mm] z_{1,2} =+-\wurzel{-2i}+2
[/mm]
[mm] z_{1,2} [/mm] = [mm] +-\wurzel{2e^{\bruch{3 \pi *i}{2}}}+2
[/mm]
[mm] z_{1,2} [/mm] = [mm] +-\wurzel{2} [/mm] * [mm] e^{\bruch{3 \pi *i}{4}}+2
[/mm]
[mm] z_1 [/mm] = [mm] \wurzel{2} (cos(\bruch{3 \pi}{4}) [/mm] +i* [mm] sin(\bruch{3 \pi}{4})) [/mm] +2 = 1+i
[mm] z_2 [/mm] = - [mm] \wurzel{2} (cos(\bruch{3 \pi}{4}) [/mm] +i* [mm] sin(\bruch{3 \pi}{4})) [/mm] +2 = 3 -i
|
|
|
| |
|
Hallo,
1+i und 3-i sind ok, kleiner Schreibfehler
[mm] 0=z^2-4z-2i+4 [/mm] lautet
[mm] 0=z^2-4z+2i+4
[/mm]
Steffi
|
|
|
|
