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Hallo, habe Probleme mit dem Lösen von drei komplexen Gleichungen
a) z³+2z²+4z=0
hier habe ich noch alle Lösungen, wenn sie denn stimmen
[mm] z_{1}=0 [/mm] ; [mm] z_{2}=-1+\wurzel{3} [/mm] ; [mm] z_{3}=-1-\wurzel{3}
[/mm]
b) [mm] z²-2(1-\wurzel{3}i)z-4\wurzel{3}i=0
[/mm]
bin erstmal mit der Lösungsformel rangegangen.
[mm] z_{1/2}=1-\wurzel{3}i \pm \wurzel{-2+2\wurzel{3}i}
[/mm]
hier komme ich nicht weiter bzw weiss auch gar nicht, ob das richtig ist.
c) [mm] z^{6}+2z³+1=0
[/mm]
hier wäre ich dankbar, wenn mir jemand einen Ansatz geben könnte!
mfg sunshinenight
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Hallo sunshinenight!
> a) z³+2z²+4z=0
>
> hier habe ich noch alle Lösungen, wenn sie denn stimmen
> [mm]z_{1}=0[/mm] ; [mm]z_{2}=-1+\wurzel{3}[/mm] ; [mm]z_{3}=-1-\wurzel{3}[/mm]
Hier hast Du Dich aber nur vertippt, oder?
[mm] $z_2 [/mm] \ = \ [mm] -1+\red{i}*\wurzel{3}$
[/mm]
[mm] $z_3 [/mm] \ = \ [mm] -1-\red{i}*\wurzel{3}$
[/mm]
> b) [mm]z²-2(1-\wurzel{3}i)z-4\wurzel{3}i=0[/mm]
>
> bin erstmal mit der Lösungsformel rangegangen.
> [mm]z_{1/2}=1-\wurzel{3}i \pm \wurzel{-2+2\wurzel{3}i}[/mm]
> hier komme ich nicht weiter bzw weiss auch gar nicht, ob das
> richtig ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das ist soweit richtig.
Tipp:
[mm] $\wurzel{-2+2\wurzel{3}i} [/mm] \ = \ [mm] \left(-2+2\wurzel{3}i\right)^{\bruch{1}{2}} [/mm] \ = \ [mm] \left(4*e^{i*120°}\right)^{\bruch{1}{2}} [/mm] \ = \ [mm] \left[4*\left(\cos(120°)+i*\sin(120°)\right)\right]^{\bruch{1}{2}} [/mm] \ = \ ...$
Nun weiter mit der ![[]](/images/popup.gif) Moivre-Formel ...
> c) [mm]z^{6}+2z³+1=0[/mm]
Substituiere: $t \ := \ [mm] z^3$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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ja bei a) hatte ich das i vergessen im Eifer des Gefechts 
für b) habe ich dank deiner Hilfe die Lösungen
[mm] z_{1}=2 [/mm] und
[mm] z_{2}=-2\wurzel{3}i
[/mm]
c) habe ich auch noch fix durchgerechnet und für t=-1
wenn ich mich mit dem Minus jetzt nicht vertan habe, dann erhält man
[mm] z_{0}=-1
[/mm]
[mm] z_{1}=\bruch{1}{2}(1-\wurzel{3}i)
[/mm]
[mm] z_{2}=\bruch{1}{2}(1+\wurzel{3}i)
[/mm]
Rückfrage meine ich jetzt hier nur damit, dass ich gern wissen würde, ob die Ergebnisse stimmen.
@Roadrunner vielen Dank für deine Hilfe
mfg sunshinenight
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Hallo!
> für b) habe ich dank deiner Hilfe die Lösungen
> [mm]z_{1}=2[/mm] und
> [mm]z_{2}=-2\wurzel{3}i[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> c) habe ich auch noch fix durchgerechnet und für t=-1
> wenn ich mich mit dem Minus jetzt nicht vertan habe, dann
> erhält man
> [mm]z_{0}=-1[/mm]
> [mm]z_{1}=\bruch{1}{2}(1-\wurzel{3}i)[/mm]
> [mm]z_{2}=\bruch{1}{2}(1+\wurzel{3}i)[/mm]
Stimmt alles!
Gruß, banachella
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