Gleichung aufstellen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:26 Sa 30.07.2005 | | Autor: | Kayhstar |
Hallöchen...
ich hab mich heute ma rangesetzt n bissel Algebra zu machen... aber schon bei ersten Kapitel (Vektoren: Geometrische Anwendung und Vektoren im 3-dim. Raum) herrscht reger mangel an Ahnung!!
Ich hab in dem Forum ein paar Tipps gefunden deswegen hab ich mich auch ma angemeldet... vielleicht kann mir ja einer von euch bei meiner Frage weiterhelfen:
Wie lautet die Gleichungen der Ebenen, die parallel zur Ebene 2x+2y+z-8=0 liegen und von ihr den Abstand d=4 haben?
...hmmm, naja also ich weiss das die normalen im Kreuzprodukt gleich null sein müssen, sonst wären die Ebenen nicht parallel, aber dann hörts auch schon auf *schäm*
Hilfe hilfe große Not! :)
mfg Kayh*
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:09 Sa 30.07.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kayhstar!
> Ich hab in dem Forum ein paar Tipps gefunden deswegen hab
> ich mich auch ma angemeldet...
Gute Idee  !!
Na, dann mal ... ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
> vielleicht kann mir ja einer von euch bei meiner Frage weiterhelfen:
Schau'n wir mal ...
> Wie lautet die Gleichungen der Ebenen, die parallel zur
> Ebene 2x+2y+z-8=0 liegen und von ihr den Abstand d=4
> haben?
>
> ...hmmm, naja also ich weiss das die normalen im
> Kreuzprodukt gleich null sein müssen, sonst wären die
> Ebenen nicht parallel, aber dann hörts auch schon auf
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Das ist leider falsch! Wenn die Ebenen parallel sein sollen, haben beide auch denselben Normalenvektor.
Am einfachsten geht es hier, wenn wir Deine Ebenengleichung in die  Hesse'sche Normalform (HNF) (oder auch hier: ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia) bringen:
[mm] $E_0 [/mm] \ : \ [mm] \red{2}*x [/mm] + [mm] \blue{2}*y [/mm] + [mm] \green{1}*z [/mm] \ = \ 8$ [mm] $\Rightarrow$ $E_0 [/mm] \ : \ [mm] \vektor{\red{2} \\ \blue{2} \\ \green{1}}*\vektor{x \\ y \\ z} [/mm] \ = \ 8$
Für die HNF benötigen wir aber noch die Länge des Normalenvektors [mm] $\vec{n} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{\red{2} \\ \blue{2} \\ \green{1}}$ [/mm] : [mm] $\left|\vec{n}\right| [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{\red{2}^2 + \blue{2}^2 + \green{1}^2} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{9} [/mm] \ = \ 3$
Die HNF unserer gegebenen Ebenengleichung lautet also:
[mm] $E_0 [/mm] \ : \ [mm] \bruch{1}{3}*\vektor{2 \\ 2 \\ 1}*\vektor{x \\ y \\ z} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{8}{3}$
[/mm]
Damit wissen wir, daß unsere Ebene den Abstand [mm] $d_0 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{8}{3} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 2,667$ zum Koordinatenursprung hat.
Da unsere neuen Ebenen [mm] $E_1$ [/mm] und [mm] $E_2$ [/mm] von unserer gegebenen Ebene [mm] $E_0$ [/mm] den Abstand 4 haben sollen, muss also gelten:
[mm] $d_1 [/mm] \ = \ [mm] d_0 [/mm] \ [mm] \red{+} [/mm] \ 4 \ = \ [mm] \bruch{8}{3} [/mm] \ [mm] \red{+} [/mm] \ 4 \ = \ [mm] \bruch{20}{3}$ [/mm] bzw. [mm] $d_2 [/mm] \ = \ [mm] d_0 [/mm] \ [mm] \red{-} [/mm] \ 4 \ = \ [mm] \bruch{8}{3} [/mm] \ [mm] \red{-} [/mm] \ 4 \ = \ [mm] -\bruch{4}{3}$
[/mm]
Kannst Du nun die beiden HNF der Ebenen [mm] $E_1$ [/mm] und [mm] $E_2$ [/mm] aufstellen und daraus die entsprechenden Normalformen $a*x + b*y + c*z + d \ = \ 0$ ermitteln?
Gruß
Loddar
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Die Ebene E ist gegeben durch
E: 2x + 2y + z - 8 = 0.
Wir suchen die beiden Ebenen, die parallel zu E sind, von ihr den Abstand 4 haben.
Anstatz ist folgende Bedingung: gleicher Normalenvektor:
E2: 2x + 2y + z + d = 0.
Alle Ebenen dieser Form sind zu der gegebenen parallel.
Um die Ebenen mit dem gegebenen Abstand zu erhalten, muss nun ein passender Parameter d ermittelt werden:
1) Du ermittelst einen beliebigen Punkt auf der Ebene E. Ein Punkt darauf ist z.B. P ( 0 / 0 / 8 ). Diesen habe ich erhalten, indem ich in E für x und y = 0 gesetzt, dann nach z aufgelöst habe.
Die nächste Bedingung ist nun, dass der Punkt P von der gesuchten Ebene den Abstand 4 hat.
Dazu bildest du die Hessesche Normalform (HNF) von E2 (Normalenvektor hat die Länge 3):
[mm] \bruch{2x + 2y + z + d}{3} [/mm] = 0 .
Dort setzt du P ( 0 / 0 / 8 ) ein und forderst den Abstand 4:
[mm] \bruch{0+0 + 8 + d}{3} [/mm] = +/- 4
das ergibt:
8 + d = +/- 12
also d = -20 und d = 4
die 2 Ebenen sind:
E2(1): 2x + 2y + z - 20 = 0
E2(2): 2x + 2y + z + 4 = 0
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:38 Sa 30.07.2005 | | Autor: | Disap |
Hi Sven,
leider ist dir in deiner Rechnung zumindest ein kleiner Flüchtigkeitsfehler unterlaufen, und zwar...
> Die Ebene E ist gegeben durch
>
> E: 2x + 2y + z - 8 = 0.
>
>
> Wir suchen die beiden Ebenen, die parallel zu E sind, von
> ihr den Abstand 4 haben.
>
> Anstatz ist folgende Bedingung: gleicher Normalenvektor:
>
> E2: 2x + 2y + z + d = 0.
>
> Alle Ebenen dieser Form sind zu der gegebenen parallel.
>
> Um die Ebenen mit dem gegebenen Abstand zu erhalten, muss
> nun ein passender Parameter d ermittelt werden:
>
>
> 1) Du ermittelst einen beliebigen Punkt auf der Ebene E.
> Ein Punkt darauf ist z.B. P ( 0 / 0 / 8 ). Diesen habe ich
> erhalten, indem ich in E für x und y = 0 gesetzt, dann nach
> z aufgelöst habe.
>
> Die nächste Bedingung ist nun, dass der Punkt P von der
> gesuchten Ebene den Abstand 4 hat.
> Dazu bildest du die Hessesche Normalform (HNF) von E2
> (Normalenvektor hat die Länge 9):
>
hat Loddar das schon richtig erkannt, dass die Länge oder auch der Betrag des Normalenvektors 3 ist. Du hast also vergessen, die Wurzel zu ziehen:
[mm] \vec{n}= \vektor{2 \\ 2\\1} [/mm] => [mm] |\vec{n}| [/mm] = [mm] \wurzel{2+2+1} [/mm] = 3
>
> [mm]\bruch{2x + 2y + z + d}{9}[/mm] = 0 .
>
> Dort setzt du P ( 0 / 0 / 8 ) ein und forderst den Abstand
> 4:
>
> [mm]\bruch{0+0 + 8 + d}{9}[/mm] = +/- 4
Hier kann ich dir leider nicht wirklich folgen, aber ist es wirklich richtig, hier das [mm] \bruch{1}{9} [/mm] auf einmal wegzulassen? (Keine offizielle Frage)
> das ergibt:
>
> 8 + d = +/- 4
>
> also d = -4 und d = -12
>
> die 2 Ebenen sind:
>
> E2(1): 2x + 2y + z - 4 = 0
> E2(2): 2x + 2y + z - 12 = 0
>
>
Liebe Grüße Disap
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:45 Sa 30.07.2005 | | Autor: | svenchen |
ich habe meinen Lösungsweg korrigiert, so stimmt es !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:40 Sa 30.07.2005 | | Autor: | Kayhstar |
Hey, danke!
In meinen Unterlagen is die HNF nicht wirklich gut erklärt, ich komm mit der irgendwie noch nicht ganz klar...
Aber danke für die Lösungen! :)
Hat sich gelohnt sich anzumelden *freu*
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:53 Sa 30.07.2005 | | Autor: | svenchen |
Die HNF gibt den Abstand eines Punktes von einer Ebene an. Wenn du die HNF gebildet hast und in diese die Koordinaten eines Punktes einsetzt, bekommst du den Abstand des Punktes zu der Ebene an.
Hier ein Beispiel:
gesucht ist der Abstand des Punktes O (2 / 4 / 6) von der Ebene E:2 x + 4 y + 3 z - 19 = 0.
Dazu bestimmen wir die HNF der Ebene E:
E(HNF): [mm] \bruch{2 x + 4 y + 3 z - 19}{\wurzel{29}}
[/mm]
Wenn du jetzt den Punkt O (2 / 4 / 6) in die HNF einsetzt, bekommst du
[mm] \bruch{2 * 2 + 4 *4 + 3 *6 - 19}{\wurzel{29}}.
[/mm]
Das ausgerechnet ergibt den Abstand des Punktes O zu der Ebene E.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:03 Sa 30.07.2005 | | Autor: | Disap |
Hey,
da dir anscheindend noch nicht die HESSE'sche Normalenform bekannt war, gibt es eine kleine, evtl. auch aufwändigere Alternative. Ich versuche dir mal die Idee nahezulegen.
Und zwar solltest du dir dazu erst einmal eine Ebene vorstellen. Nebenbei noch einmal erwähnt, soll es eine zweite UND dritte Ebene geben, die dazu parallel ist sowie einen gewissen Abstand hat. Die Überlegung von dir war am Anfang schon einmal halb richtig: die Normalenvektoren müssen sich nicht im rechten Winkel schneiden, sondern linear abhängig sein. Das ist auch schon der Gag sozusagen. Daher kannst du den Normalenvektor der ersten Ebene verwenden => der Abstand soll vier sein, der "Normalenvektor", sagen wir mal, ist identisch (laienhaft ausgedrückt). Also brauchen wir nur noch einen Punkt, um eine weitere parallele Ebene zu bekommen. Der Punkt muss 4 Längeneinheiten weg sein, also:
gehen wir den Normalenvektor der ersten Ebene entlang, sprich bringen ihn auf die Länge 4 und bekommen einen Punkt (der Punkt erfüllt den Abstand von vier und läuft letzendlich auf den Abstand der beiden Ebenen hinaus). Aus einem Punkt & Normalenvektor kann man schon eine Koordinatengleichung bilden.
Du kannst ja auch einmal diesen Lösungsweg versuchen, wenn dir die HESSE'sche Normalenform noch nicht geläufig ist.
Viele Grüße Disap
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