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| Aufgabe | bestimme die komplexen lösugen in der form x+iy mit x,y [mm] \in \ir
[/mm]
[mm] 0,25z^4+2=2*\wurzel{3i} [/mm] |
hi@all
also lösen ist ja kein problem aber nachh umformen in x+iy schon.
ich hab substituiert und dann abc-formel angewendet.
nach dem rück substituieren bekomm ich dann:
[mm] z=\pm \wurzel{\bruch{\pm \wurzel{-2+2*\wurzel{3i}}}{0.5}}
[/mm]
also hab ich 4 lösungen, aber wie soll ich das jetzt umschreiben? ich habs versucht vorher wenn ich substituert habe umzuformen aber es bringt mich nicht weiter.
ebenso bringt die substitution [mm] z^4=u [/mm] auch recht wenig, da hat man nachher genau das selbe.
wäre cool wenn mir jemand von den schlauen köpfen hier helfen könnte ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:40 So 11.11.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo Arvi,
zunächst eine Frage: Bist Du sicher, dass i unter der Wurzel steht, das glaube ich nicht so ganz, um ehrlich zu sein.
Der Trick bei diesem Typ von Aufgaben liegt darin, die Lösung in Polarkoordinaten zu bestimmen. Wenn ich Deine Gleichung umschreibe (mit dem i außerhalb der Wurzel) , erhalte ich
$$ [mm] z^4 [/mm] = -8 + 8 i [mm] \wurzel{3} \, [/mm] . $$
Diese Gleichung hat vier Lösungen, die man nach Umformung in Polarkoordinaten leicht bestimmen kann. Sie liegen alle auf einem Kreis um den Nullpunkt, dessen Radius sich mit Hilfe des 4. Wurzel aus der Länge der recht stehenden Zahl ergibt. Die Winkel der einzelnen Lösungen sind um 90 Grad gegeneinander versetzt.
$ [mm] \wurzel[n]{z}=r^{\bruch{1}{n}} \cdot [/mm] ( [mm] \cos (\bruch{\varphi}{n} [/mm] + k [mm] \bruch{2 \pi}{n} [/mm] ) + j [mm] \sin (\bruch{\varphi}{n} [/mm] + k [mm] \bruch{2 \pi}{n} [/mm] ) ) $
mit k = 0 , ..., n-1. Bei Dir ist die obere Grenze also 3.
Damit hast Du alle Lösungen gegeben.
Viele Grüße,
Infinit
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