Gleichung < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Kann mir jemand an diesem Beispiel die lin Ab- und Unabhängigkeit erklären. Trotz Wikipediaerklärung vertehe ich es nicht.
[mm] \vektor{1 \\ 0}\vektor{3 \\ 0}\vektor{-1 \\ 2}\vektor{0 \\ 6}
[/mm]
Warum ist zum Beispiel [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] & [mm] \vektor{0 \\ 6} [/mm] linear Unabhängig?
Wie sieht es mit den anderen aus?
Anika
|
|
| |
|
Hallo AnikaBrandes,
> Kann mir jemand an diesem Beispiel die lin Ab- und
> Unabhängigkeit erklären. Trotz Wikipediaerklärung
> vertehe ich es nicht.
>
> [mm]\vektor{1 \\ 0}\vektor{3 \\ 0}\vektor{-1 \\ 2}\vektor{0 \\ 6}[/mm]
Du musst den Nullvektor als Linearkombination der gegebenen Vektoren darstellen, also
[mm] $\vektor{0\\0}=a\cdot{}\vektor{1\\0}+b\cdot{}\vektor{3\\0}+c\cdot{}\vektor{-1\\2}+d\cdot{}\vektor{0\\6}$
[/mm]
Wenn alle Koeffizienten, also $a=b=c=d=0$ sind in dieser LK, so sind die Vektoren linear unabhängig.
Ist (mind.) einer der Koeffizienten [mm] $\neq [/mm] 0$, so sind sie linear abhängig.
Du kannst ja der Übung halber mal die obige Vektorgleichung lösen.
Du kannst sie in ein lineares Gleichungssystem überführen:
[mm] $\vmat{a&+&3b&-&c&&&=&0\\&&&&2c&+&6d&=&0}$
[/mm]
Nun ist es so, dass im [mm] $\IR^2$ [/mm] jede Menge mit mehr als 2 Vektoren automatisch linear abhängig ist. Das liegt daran, dass die Dimension des [mm] $\IR^2$ [/mm] eben 2 ist.
Allg. ist in einem Vektorraum der Dimension $n$ jede Menge mit mehr als n Vektoren linear abhängig.
Es können also max. 2 Vektoren aus den oben gegebenen linear unabhängig sein ...
> Warum ist zum Beispiel [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] & [mm]\vektor{0 \\ 6}[/mm]
> linear Unabhängig?
Nun, bei 2 Vektoren ist es einfach:
Zwei Vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn sie keine Vielfachen voneinander sind.
Und entsprechend sind zwei Vektoren genau dann linear abhängig,wenn sie Vielfache voneinander sind.
Und hier sieht man auf einen Blick ![[lupe]](/images/smileys/lupe.gif "[lupe]") , dass die beiden Vektoren keine Vielfachen voneinander sind ...
> Wie sieht es mit den anderen aus?
> Anika
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
> Wenn alle Koeffizienten, also [mm]a=b=c=d=0[/mm] sind in dieser LK,
> so sind die Vektoren linear unabhängig.
>
> Ist (mind.) einer der Koeffizienten [mm]\neq 0[/mm], so sind sie
> linear abhängig.
>
Ist die nicht genau andersherum?
Nach deine Rechnung zu folge müsste allso [mm] \vektor{1 \\ 0}\vektor{0 \\ 6}
[/mm]
linar unabhängig sein, sie sind aber linear unabhängig.
1a+0b=0 [mm] 1\not=0
[/mm]
0a+6b=0 [mm] 6\not=0
[/mm]
|
|
|
| |
|
Wenn alle Koeffizienten, also sind in dieser LK,
> so sind die Vektoren linear unabhängig.
>
> Ist (mind.) einer der Koeffizienten , so sind sie
> linear abhängig.
>
Ist die nicht genau andersherum?
Nach deine Rechnung zu folge müsste allso
linar abhängig sein, sie sind aber linear unabhängig.
1a+0b=0
0a+6b=0
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:50 Sa 13.02.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du ziehst die falschen Schlüsse aus deinem Gleichungssystem
[mm] \vmat{1a+0b=0\\0a+6b=0}
[/mm]
[mm] \gdw\vmat{a=0\\6b=0}
[/mm]
[mm] \gdw\vmat{a=0\\b=0}
[/mm]
Marius
|
|
|
|
