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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:55 So 05.11.2006 | | Autor: | nix19 |
| Aufgabe | In dieser Aufgaben bezeichnen a, b, c stets ganze Zahlen, wobei a oder b von 0 verschieden sei.
a) Zeigen Sie: Falls die Gleichung ax + by = c eine Lösung besitzt, für die x und y ganzzahlig sind, so wird c vom größten gemeinsamen Teiler von a und b geteilt.
b) Geben Sie eine Gleichung ax + by = c an, die keine ganzzahligen Lösungen besitzt, obwohl a und b verschiedenes Vorzeichen haben.
c) Für a, b fest bezeichne M die Menge aller derjenigen ganzen Zahlen c mit c > 0, für die die Gleichung ax + by = c eine Lösung mit x, y ganzzahlig besitzt. Weiterhin sei [mm] \gamma [/mm] das kleinste Element von M.
Beweisen Sie, dass [mm] \gamma [/mm] gleich dem größten gemeinsamen Teiler von a und b ist.
Hinweis: Wegen Teil a) braucht man nur noch zu zeigen, dass [mm] \gamma [/mm] sowohl a als auch
b teilt (Wieso?). Um dies etwa für a einzusehen, beachte man, dass |a| aus M ist
(Wieso?) und dividiere |a| mit Rest durch [mm] \gamma.
[/mm]
d) Folgern Sie aus Teil c), dass auch die Umkehrung von Teil a) gilt. |
Wie löse ich die Aufgabe?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> In dieser Aufgaben bezeichnen a, b, c stets ganze Zahlen,
> wobei a oder b von 0 verschieden sei.
> a) Zeigen Sie: Falls die Gleichung ax + by = c eine Lösung
> besitzt, für die x und y ganzzahlig sind, so wird c vom
> größten gemeinsamen Teiler von a und b geteilt.
>
> b) Geben Sie eine Gleichung ax + by = c an, die keine
> ganzzahligen Lösungen besitzt, obwohl a und b verschiedenes
> Vorzeichen haben.
>
> c) Für a, b fest bezeichne M die Menge aller derjenigen
> ganzen Zahlen c mit c > 0, für die die Gleichung ax + by =
> c eine Lösung mit x, y ganzzahlig besitzt. Weiterhin sei
> [mm]\gamma[/mm] das kleinste Element von M.
> Beweisen Sie, dass [mm]\gamma[/mm] gleich dem größten gemeinsamen
> Teiler von a und b ist.
> Hinweis: Wegen Teil a) braucht man nur noch zu zeigen,
> dass [mm]\gamma[/mm] sowohl a als auch
> b teilt (Wieso?). Um dies etwa für a einzusehen, beachte
> man, dass |a| aus M ist
> (Wieso?) und dividiere |a| mit Rest durch [mm]\gamma.[/mm]
>
> d) Folgern Sie aus Teil c), dass auch die Umkehrung von
> Teil a) gilt.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> Wie löse ich die Aufgabe?
Was hast Du bisher getan? Was ist unklar, wo hängst Du fest?
Wir können Dir besser und schneller helfen, wenn wir wissen, wo's klemmt.
Lies hierzu auch die Forenregeln.
Zu a) Gehe davon aus, daß x,y die Gleichung lösen.
a und b haben einen ggT, dieser sei T. Wie kannst Du a und b dann schreiben, was bedeutet das für die Gleichung?
Zu b) ergibt sich dann direkt durch konkrete Anwendung von a)
Gruß v. Angela
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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