Gleichmäßige Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:10 Fr 24.11.2006 | | Autor: | MarinaW |
| Aufgabe | | Untersuche f: [mm] [0,\infty) [/mm] --> [mm] \IR [/mm] (x --> [mm] x^{n}) [/mm] (n [mm] \in \IN, [/mm] n > 1) und g: [mm] [0,\infty) [/mm] --> [mm] \IR [/mm] (x ---> [mm] \wurzel{x}) [/mm] auf gleichmäßige stetigkeit |
hallo,habe heir ein problem bei der aufgabe. ich weiß nicht wie ich hier vorgehen soll. ich hoffe mir kann jemand helfen. ich habe es für [mm] \wurzel{x} [/mm] mal so versucht:
für [mm] \varepsilon [/mm] > 0 und [mm] \partial [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm] gilt:
bei x-y < [mm] \varepsilon [/mm] und x,y > 1
[mm] \wurzel{x} [/mm] - [mm] \wurzel{y} [/mm] < [mm] (\wurzel{x} [/mm] - [mm] \wurzel{y}) [/mm] * [mm] (\wurzel{x} [/mm] + [mm] \wurzel{y}) [/mm] da [mm] \wurzel{x}+ \wurzel{y} [/mm] > 1 und das ergibt x-y, womit die gleichmäßige stetigkeit auf [mm] [0,\infty) [/mm] gezeigt ist.
kann ich das so machen?
und bei [mm] x^{n} [/mm] komme ich einfach nicht drauf. ich hoffe mir kann da jemand helfen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:40 Fr 24.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Untersuche f: [mm][0,\infty)[/mm] --> [mm]\IR[/mm] (x --> [mm]x^{n})[/mm] (n [mm]\in \IN,[/mm]
> n > 1) und g: [mm][0,\infty)[/mm] --> [mm]\IR[/mm] (x ---> [mm]\wurzel{x})[/mm] auf
> gleichmäßige stetigkeit
> hallo,habe heir ein problem bei der aufgabe. ich weiß
> nicht wie ich hier vorgehen soll. ich hoffe mir kann jemand
> helfen. ich habe es für [mm]\wurzel{x}[/mm] mal so versucht:
> für [mm]\varepsilon[/mm] > 0 und [mm]\partial[/mm] = [mm]\varepsilon[/mm] gilt:
> bei x-y < [mm]\varepsilon[/mm] und x,y > 1
> [mm]\wurzel{x}[/mm] - [mm]\wurzel{y}[/mm] < [mm](\wurzel{x}[/mm] - [mm]\wurzel{y})[/mm] *
> [mm](\wurzel{x}[/mm] + [mm]\wurzel{y})[/mm] da [mm]\wurzel{x}+ \wurzel{y}[/mm] > 1 und
> das ergibt x-y, womit die gleichmäßige stetigkeit auf
> [mm][0,\infty)[/mm] gezeigt ist.
> kann ich das so machen?
Ja, geht für [mm] x\ge [/mm] 1 und das hast du ja auch benutzt. bei annäherung an 0 findest du kein x unabh. [mm] \delta [/mm] mehr.
> und bei [mm]x^{n}[/mm] komme ich einfach nicht drauf. ich hoffe mir
Auch da kannst du gleichmäßig stetig nur auf[0,R] R fest, beliebig beweisen auf [mm] [0,\infty] [/mm] nicht.
(anschaulich klar in beiden Fällen! bei x gegen 0 und [mm] \wurzel{x} [/mm] wird die Funktion beliebig steil (f' gegen [mm] \infty) [/mm] d.h. aber genau f(x)-f(y)>> x-y
ebenso bei xgegen [mm] \infty, [/mm] wird [mm] x^n [/mm] immer steiler.
mit f' kannst du das auch zeigen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:49 Fr 24.11.2006 | | Autor: | MarinaW |
hey danke für deine antwort. muss ich das bei [mm] \wurzel(x) [/mm] nun noch für x < 1 zeigen?
und kannst du mir das wohl genauer erklären wie du das bei dem [mm] x^{n} [/mm] machen würdest?das versteh ich nicht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:25 Fr 24.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Meine Aussage war: [mm] \wurzel [/mm] {x} ist NICHT gleichmässig stetig für x=0. du kannst also die gl. Stetigkeit nur bis 0<x=r.
[mm] x^n [/mm] ist nicht gl. stetig für x gegen unendlich.
also gibts auch keinen weg das zu beweisen.
[mm] (x^n-y^n)kann [/mm] man schreiben als (x-y)*(polynom n-1 ten Grades ) Polynomdivision, das Gestz sieh man nach spätestens Drei Schritten., Wenn man nur gleichmäsige Stetigkeit bis x=A zeigen will, schätzt man das Polynom bei x=y=A ab und findet ein [mm] \delta [/mm] zu [mm] \varepsilon.
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:43 Sa 25.11.2006 | | Autor: | MarinaW |
danke für deine antowrt aber ich verstehe deine argumentation einfach nicht. kannst du mir das nicht mit der [mm] \varepsilon \partial [/mm] rechnung zeigen?wäre echt nett
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:33 Sa 25.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich versteh deine Frage nicht!
was denn soll ich mit [mm] \epsilon \delta [/mm] vorrechnen?
Du sollst doch die gl. St. zeigen in [mm] [0,\infty] [/mm]
Das die nicht gibt, kann sie niemand zeigen!
Probiers mit [mm] x^2, [/mm] und [mm] (x^2-y^2)=(x-y)(x+y)
[/mm]
Du siehst doch dass die funktionsdifferenz bei festem x-y mit etwa 2x wächst. d.h. bei x=100 ist [mm] |(x^2-y^2)|>200*|x-y|
[/mm]
bei [mm] x=10^9 [/mm] ist [mm] |(x^2-y^2)|>2*10^9*|x-y| [/mm] du musst also beim selben [mm] \epsilon \delta [/mm] immer kleiner machen, abhängig von x.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:10 Mo 27.11.2006 | | Autor: | MarinaW |
ich verstehe dich nicht ganz.
ich habe das nun mal für [mm] x^{2} [/mm] gemacht:
nun ist [mm] \varepsilon [/mm] > 0. wähle y= x + [mm] \bruch{\delta}{2}
[/mm]
dann ist [mm] y^{2} [/mm] - [mm] x^{2}= [/mm] x * [mm] \delta [/mm] + [mm] \bruch{\delta^{2}}{4} [/mm] > x * [mm] \delta
[/mm]
ich wähle nun x= 2* [mm] \bruch{\varepsilon}{\delta}
[/mm]
dann ist [mm] y^{2} [/mm] - [mm] x^{2} [/mm] > 2 * [mm] \varepsilon [/mm] und dies ist ein widerspruch.also
ist [mm] x^{2} [/mm] nicht gleichmäßig stetig.
wie mache ich das denn nun mit [mm] x^{n}. [/mm] darauf komme ich einfach nicht.
bitte helft mir
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:18 Mo 27.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
dividiere [mm] y^n-x^n [/mm] durch y-x, du bekommst nur positive Potenzen!
Ausserdem wenn [mm] x^2 [/mm] nicht gl. stetig ist und [mm] x^1 [/mm] auch nicht, dann auch das Produkt nicht usw, usw.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:32 Mo 27.11.2006 | | Autor: | MarinaW |
das ist mir ja klar, dass das nicht gleichmäßig stetig ist, aber ich weiß nicht wie ich es "korrekt" aufschreibe. das ist mein problem. kannst du mir das nicht mal zeigen wie ich das richtig aufschreibe,also an meinem beispiel mit [mm] x^{2} [/mm] angelehnt. du würdest mir ein großen gefallen tun. ich muss das nämlich nun bald abgeben :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:42 Mo 27.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo marina
> das ist mir ja klar, dass das nicht gleichmäßig stetig ist,
> aber ich weiß nicht wie ich es "korrekt" aufschreibe. das
> ist mein problem. kannst du mir das nicht mal zeigen wie
> ich das richtig aufschreibe,also an meinem beispiel mit
> [mm]x^{2}[/mm] angelehnt. du würdest mir ein großen gefallen tun.
Warum leuchtet dir das Argument , dass das Produkt nicht gl.dtet. fkt nicht gl. steig ist nicht ein?
Und dann reicht doch deun bews mit [mm] x^2°
[/mm]
[mm] (y^n-x^n)=(y-x)*\summe_{i=1}^{n}y^{n-i}x^{i-1}>n*x^n*(x-y)
[/mm]
und jetzt genau wie bei [mm] x^2.
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:45 Di 28.11.2006 | | Autor: | MarinaW |
danke. kannst du das nicht ausnahmsweise vorrechnen? ich komme einfach nicht drauf und ich muss es nun bald vorzeigen. ich red mich schon immer raus das ich krank war und so. bitte bitte. *ganzliebguck*
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:49 Di 28.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
solang ich keinerlei Anwendung meiner Tips von dir sehe rechne ich nix vor.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:06 Di 28.11.2006 | | Autor: | MarinaW |
ich habe wohl mit deinen tipps gearbeitet:dann tipp ich es eben mal alles ab:
also ich habs aber nicht ganz so gemacht wie du:
[mm] y^{n} [/mm] - [mm] x^{n} [/mm] = (y-x) [mm] (y^{n-1} [/mm] + [mm] y^{n-2}*x+...+ [/mm] y * [mm] x^{n-2}+x^{n-1})
[/mm]
und nun kann ich ja wegen x < y nach unten abschätzen:
[mm] y^{n} [/mm] - [mm] x^{n} [/mm] > (y-x) [mm] (x^{n-1}+x^{n-1}+...+x^{n-1}) [/mm] = [mm] (y-x)*n*x^{n-1}, [/mm] setzt man dies nun zusammen gilt für alle y-x < [mm] \delta, [/mm] dass
[mm] (y-x)*n*x^{n-1} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]
nun führ ich das zum widerspruch in dem ich y und x geeignet wähle.
die vorrausetzung 0 < y-x < [mm] \delta [/mm] ist für y = x + [mm] \bruch{\delta}{2} [/mm] erfüllt.
dann haben wir also:
[mm] \delta*n*x^{n-1} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] und zwar für alle x. dies kann offensichtlich nicht stimmen.
und hier ist mein problem. ich muss noch ein x angeben, so dass gilt:
[mm] \delta*n*x^{n-1} [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm] , aber ich komme nicht auf dieses x. wenn würd ja schon reichen wenn du mir das angibst, dann hätte ich ja mein widerspruch.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 Di 28.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
> ich habe wohl mit deinen tipps gearbeitet:dann tipp ich es
> eben mal alles ab:
>
> also ich habs aber nicht ganz so gemacht wie du:
>
> [mm]y^{n}[/mm] - [mm]x^{n}[/mm] = (y-x) [mm](y^{n-1}[/mm] + [mm]y^{n-2}*x+...+[/mm] y *
> [mm]x^{n-2}+x^{n-1})[/mm]
>
> und nun kann ich ja wegen x < y nach unten abschätzen:
>
> [mm]y^{n}[/mm] - [mm]x^{n}[/mm] > (y-x) [mm](x^{n-1}+x^{n-1}+...+x^{n-1})[/mm] =
> [mm](y-x)*n*x^{n-1},[/mm] setzt man dies nun zusammen gilt für alle
> y-x < [mm]\delta,[/mm] dass
> [mm](y-x)*n*x^{n-1}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> nun führ ich das zum widerspruch in dem ich y und x
> geeignet wähle.
>
> die vorrausetzung 0 < y-x < [mm]\delta[/mm] ist für y = x +
> [mm]\bruch{\delta}{2}[/mm] erfüllt.
> dann haben wir also:
> [mm]\delta*n*x^{n-1}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] und zwar für alle x. dies
> kann offensichtlich nicht stimmen.
>
> und hier ist mein problem. ich muss noch ein x angeben, so
> dass gilt:
>
> [mm]\delta*n*x^{n-1}[/mm] = [mm]\varepsilon[/mm] , aber ich komme nicht auf
[mm] x^{n-1}=\bruch{\varepsilon}{n*\delta}; x=(\bruch{\varepsilon}{n*\delta})^{1/(n-1)}
[/mm]
Gruss leduart.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 Di 28.11.2006 | | Autor: | MarinaW |
danke schön. wie schreibe ich das denn nun auf?
schreibe ich dann: nun habe ich ein x = [mm] (\bruch{\varepsilon}{n\cdot{}\delta})^{1/(n-1)} [/mm] gefunden, so dass dann
gilt: [mm] \delta\cdot{}n\cdot{}x^{n-1} [/mm] = [mm] \varepsilon
[/mm]
und das ist ein widerspruch.
ist das so richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:52 Di 28.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Kommt drauf an, wie du anfängst:
angenommen für alle x gibt es ein [mm] \delta [/mm] so dass...
dann .... deine Umrechnungsschritte
dann folgt für [mm] x\ge [/mm] .... ist die Annahme falsch.( oder [mm] \delta [/mm] nicht klein genug)
ich kann also [mm] \delta [/mm] nicht unabh. von x wählen.
Gruss leduart
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