Gleichmäßige Stetigkeit, < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:28 Di 24.06.2014 | | Autor: | Qight |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Funktion [mm]f : [0,\infty) \to \IR, x \to \wurzel{x} [/mm] gleichmäßig stetig, aber nicht Lipschitz-beschränkt ist. |
So, ich denke dass ich die Aufgabe gelöst habe, hoffe nur auf Fehlerkorrektur und Verbesserungsvorschläge, was mathematische Begründungen angeht.
Sei [mm] f : [0,\infty) [/mm] mit [mm] [0,\infty) \subset \IR [/mm]
Nebenrechnung:
[mm] |\wurzel{x} - \wurzel{y} | \le \wurzel {|x - y| } [/mm], sei [mm] x \ge y [/mm]
[mm] \wurzel{x} - \wurzel{y} \le \wurzel{x - y} [/mm]
[mm] x - 2\wurzel{xy} + y \le x-y [/mm]
[mm] -2\wurzel{xy} \le -2y [/mm]
[mm] y \le \wurzel{xy} [/mm]
Da [mm] x \ge y [/mm] folgt, [mm] \wurzel{xy} \ge \wurzel{yy} = y [/mm], also gilt diese Ungleichung. Da mann in der Betragsgleichung die Bedingung auch für den umgekehrten Fall wählen kann trifft dass also auch für [mm] y \ge x [/mm] zu.
Sei [mm]\epsilon > 0[/mm] mit [mm]x, x_0 \in [0,\infty)[/mm], so gibt es ein [mm] \delta [/mm] für dass gilt:
[mm]|x - x_0| < \delta [/mm]
[mm]|\wurzel{x} - \wurzel{x_0} | \le \wurzel{|x - y|} < \wurzel{\delta} = \epsilon[/mm]
Mit [mm] \delta := \epsilon^{2} [/mm]
Also ist [mm] f : [0,\infty) \to \IR, x \to \wurzel{x} [/mm] gleichmäßig stetig.
Lipschitz-beschränkt:
Wir nehmen an, dass Lipschitz-beschränkt gilt, also:
[mm] |f(x) - f(0)| \le L*|x - 0| [/mm]
[mm] |\wurzel{x} - \wurzel{0}| \le L*|x| [/mm]
[mm] \wurzel{x} \le L*|x| [/mm]
[mm] \bruch{\wurzel{x}}{x} \le L[/mm]
[mm] \bruch{1}{\wurzel{x}} \le L [/mm]
Da [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{1}{\wurzel{x}} = \infty [/mm] gegen 0 keine reale (oder besser reele?) Zahl annimmt, findet man eine immer kleiner Zahl, so dass L ebenfalls keine reale Zahl ist.
Also ist [mm] f : [0,\infty) \to \IR, x \to \wurzel{x} [/mm] nicht Lipschitz-beschränkt.
Denke das es alles richtig ist, hoffe nur, dass auch die mathematisch Begründung soweit okay ist.
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Hallo,
> Da [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{1}{\wurzel{x}} = \infty[/mm]
> gegen 0 keine reale (oder besser reele?) Zahl annimmt,
Noch viel viel besser: reelle Zahl
Gruß
schachuzipus
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Hiho,
> Nebenrechnung:
>
> [mm]|\wurzel{x} - \wurzel{y} | \le \wurzel {|x - y| } [/mm], sei [mm]x \ge y[/mm]
>
> [mm]\wurzel{x} - \wurzel{y} \le \wurzel{x - y}[/mm]
> [mm]x - 2\wurzel{xy} + y \le x-y[/mm]
>
> [mm]-2\wurzel{xy} \le -2y[/mm]
> [mm]y \le \wurzel{xy}[/mm]
Du schreibst hier Terme untereinander. In welchem Zusammenhang sollen die stehen? Das ist gar nicht klar und bedarf einiger Überlegungen bzw Begründungen, die du mal mit angeben solltest!
Sonst schreib ich sowas wie:
1=3
x=y
Wie hängen die nun zusammen?
> Mit [mm]\delta := \epsilon^{2}[/mm]
> Also ist [mm]f : [0,\infty) \to \IR, x \to \wurzel{x}[/mm] gleichmäßig stetig.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Dein Beweis zur Lipschitzstetigkeit ist auch ok. Ein anderer Weg: Welchen Zusammenhang kennst du zwischen Ableitung und Lipschitz-Stetigkeit?
Gruß,
Gono.
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