Gleichmäßige Konvergenz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:42 Sa 16.07.2005 | | Autor: | papi84 |
Hallo Leute :)
ich bin jetzt bei Kapitel Analysis, um genauer zu sein - Folgen und Reihen von Funktionen. Soo, ich lese gerade über die gleichmäßige Konvergenz. In meinem Buch steht, dass eine Folge ( [mm] f_{n}) [/mm] konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion f , wenn es zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] ein
[mm] n_{0}(\varepsilon), [/mm] so dass | f(x) - [mm] f_{n}(x) [/mm] | [mm] <\varepsilon [/mm] , wobei f(x)= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}(x) [/mm]
soo , f(x) ist nicht schwer zu bekommen , aber was mache ich danach?? was ist mit [mm] f_{n}(x) [/mm] ??? z. B. habe ich die Folgende Aufgabe:
[mm] f_{n}(x) [/mm] =1/ [mm] e^{n(a-x)} [/mm] , x [mm] \in [/mm] (a, [mm] \infty) [/mm] und ich muss auf gleichmässeige Konv prüfen
die Grenzwert ist wohl 0, aber das ist das einzige was ich weiss
Das verstehe ich einfach nicht :( Bitte Hilfe!!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:23 Sa 16.07.2005 | | Autor: | SEcki |
> ich bin jetzt bei Kapitel Analysis, um genauer zu sein -
> Folgen und Reihen von Funktionen. Soo, ich lese gerade über
> die gleichmäßige Konvergenz. In meinem Buch steht, dass
> eine Folge ( [mm]f_{n})[/mm] konvergiert gleichmäßig gegen eine
> Funktion f , wenn es zu jedem [mm]\varepsilon>0[/mm] ein
> [mm]n_{0}(\varepsilon),[/mm] so dass | f(x) - [mm]f_{n}(x)[/mm] |
> [mm]<\varepsilon[/mm] , wobei f(x)= [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}(x)[/mm]
Hier fehlt irgendwie noch das Intervall auf dem es konvergieren soll - und dann sollte es für alle x aus dem Intervall gehen!
> soo , f(x) ist nicht schwer zu bekommen ,
*hüstel*, also wie eine Grenzfunktion aussieht kann im Allgemein schwer sein - dann ist es halt einfach der Grenzwert der Folge, nicht mehr (zB Expontentialreihe ...)
> aber was mache
> ich danach??
Essen gehen? Bier trinken? Was willst/musst du denn danach machen? Du musst da konkreter werden!
> was ist mit [mm]f_{n}(x)[/mm] ???
Die sind gegeben.
> z. B. habe ich die
> Folgende Aufgabe:
> [mm]f_{n}(x)[/mm] =1/ [mm]e^{n(a-x)}[/mm] , x [mm]\in[/mm] (a, [mm]\infty)[/mm] und ich muss
> auf gleichmässeige Konv prüfen
1. prüfe auf punktweise Konvergenz - das wird hier wohl immer Null sein.
2. Prüfe, ob du die Konvergenz mit einem n für alle x montrollieren kannst - also, ob für ein Epsilon ein n existiert mit [mm]\bruch{1}{e^{n(a-x)}} \le \varepsilon\forall n \ge n(\varepsilon)[/mm]. Da wette ich dagegen - falls du eins findest, geb ich dir was aus!  . Hats du eine Idee warum? (Was passiert bei x gleich a?)
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:28 So 17.07.2005 | | Autor: | papi84 |
> > soo , f(x) ist nicht schwer zu bekommen ,
>
> *hüstel*, also wie eine Grenzfunktion aussieht kann im
> Allgemein schwer sein - dann ist es halt einfach der
> Grenzwert der Folge, nicht mehr (zB Expontentialreihe ...)
man muss nicht die Grenzwert der Folge betrachten, sondern nur die Grenzwert nur der Funktion.Im Beispiel, das ich gegeben habe ist die Limes 0. Das kannst du auch selbst sehen...
> > aber was mache
> > ich danach??
>
> Essen gehen? Bier trinken? Was willst/musst du denn danach
> machen? Du musst da konkreter werden!
sei mehr flexibel :) ich meinte was muss man nach dem Berechnung der Limes machen
> > was ist mit [mm]f_{n}(x)[/mm] ???
>
> Die sind gegeben.
>
> > z. B. habe ich die
> > Folgende Aufgabe:
> > [mm]f_{n}(x)[/mm] =1/ [mm]e^{n(a-x)}[/mm] , x [mm]\in[/mm] (a, [mm]\infty)[/mm] und ich
> muss
> > auf gleichmässeige Konv prüfen
>
> 1. prüfe auf punktweise Konvergenz - das wird hier wohl
> immer Null sein.
>
> 2. Prüfe, ob du die Konvergenz mit einem n für alle x
> montrollieren kannst - also, ob für ein Epsilon ein n
> existiert mit [mm]\bruch{1}{e^{n(a-x)}} \le \varepsilon\forall n \ge n(\varepsilon)[/mm].
> Da wette ich dagegen - falls du eins findest, geb ich dir
> was aus! . Hats du eine Idee warum? (Was passiert bei x
> gleich a?)
mmm nee, x kann nicht a sein , nach DB x > a , aber ich sage ich dir wie ich das betrachtet habe...soo, ich habe [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{e^{n(a-x)}} [/mm] =0
Danach, nach einigen logischen Konklusionen habe ich geschlossen, dass 0< [mm] \bruch{1}{e^{n(a-x)}}<=1/2 [/mm] , so für [mm] \varepsilon [/mm] >1/2 ist die Bedingung für Gleichmässige Konv erfüllt => die Folge konvergiert gleichmässig...was sagst du dazu ????
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:14 So 17.07.2005 | | Autor: | SEcki |
> man muss nicht die Grenzwert der Folge betrachten, sondern
> nur die Grenzwert nur der Funktion.
Bitte was? Ich verstehe den Satz überhaupt nicht.
> Im Beispiel, das ich
> gegeben habe ist die Limes 0. Das kannst du auch selbst
> sehen...
Sicher - geht ja eher darum, daß du das siehst, oder? 
> > Essen gehen? Bier trinken? Was willst/musst du denn danach
> > machen? Du musst da konkreter werden!
> sei mehr flexibel :) ich meinte was muss man nach dem
> Berechnung der Limes machen
Einkaufen, sich mit Freunden treffen, Musik hören oder auf dem See paddeln - oder mehr Mathe machen.
Ich muss hier halt raten, was du danach machen musst/willst. Also: du hast den Grenzwert berechnet, willst aber eigtl. auf glm. Konv. überprüfen? Dann musst du den 2. Schritt machen, die ich oben schon erwähnt habe.
> mmm nee, x kann nicht a sein , nach DB x > a ,
Das war ja ein Hinweis ... man kann doch durchaus mal einsetzen - formaler könnte man auch beschreiben: berechne für jedes n [m]\lim_{x\mapsto a}f_n(x)[/m].
> aber ich
> sage ich dir wie ich das betrachtet habe...soo, ich habe
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{e^{n(a-x)}}[/mm] =0
Richtig.
> Danach, nach einigen logischen Konklusionen habe ich
> geschlossen, dass 0< [mm]\bruch{1}{e^{n(a-x)}}<=1/2[/mm] ,
Für welches x? Für welches n?Wo? Das muss sicher für jedes x ab einen bestimmten n gelten - der hängt aber von x ab ...
> so für
> [mm]\varepsilon[/mm] >1/2 ist die Bedingung für Gleichmässige Konv
> erfüllt
Was? Glm. Konv. ist immer für alle Epsilon größer 0, existiert ein n, für alle x, so daß der abstand von jeder weiteren Funktion in der Folge vom Grenzert kleiner ist als Epsilon. (Hab ich jetzt mal ausgeschreiben ... musst du nochmal lesen, dringen!)
In Formeln: [m]\forall \varepsilon \exists n\forall x \in (a,\infty) \forall m\ge n |f(x)-f_m(x)|<\varepsilon[/m]
> => die Folge konvergiert gleichmässig...was sagst
> du dazu ????
Nichts. Das ist falsch. Wie schon gesagt: ich wette dagegen, und das hat eben mit dem Hinweis zu tun ... die Idee ist: für jedes Epsilon, finde ich ein x, so dass ... ach, in Formeln:
[m]\exists \varepsilon \forall n\exists x \in (a,\infty) |f(x)-f_n(x)|\ge\varepsilon[/m]. Im Zweifel setze mal für a 0 und zeichne ein paar der Funktionen ...
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:16 So 17.07.2005 | | Autor: | papi84 |
Hallo!
> > sage ich dir wie ich das betrachtet habe...soo, ich habe
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{e^{n(a-x)}}[/mm] =0
>
> Richtig.
> > Danach, nach einigen logischen Konklusionen habe ich
> > geschlossen, dass 0< [mm]\bruch{1}{e^{n(a-x)}}<=1[/mm] ,
>
> Für welches x? Für welches n?Wo? Das muss sicher für jedes
> x ab einen bestimmten n gelten - der hängt aber von x ab
von x>a => n(x-a) negativ für n>0 ,positiv für n<0,und 0 für n=0 =>0< [mm] \bruch{1}{e^{n(a-x)}}<=1 [/mm] für alle x und n . Wenn ich n=0 und [mm] \varepsilon=1/2 [/mm] , dann es gibt Widerspruch |f(x) - [mm] f_{n}|> \varepsilon. [/mm] ist das ein bisschen richtig?? :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:39 So 17.07.2005 | | Autor: | SEcki |
> von x>a => n(x-a) negativ für n>0 ,positiv für n<0,und 0
> für n=0 =>0< [mm]\bruch{1}{e^{n(a-x)}}<=1[/mm] für alle x und n .
Schreibe das bitte nächstesmal mit dem Formeleditor - sonst kann man das kaum lesen. Zum anderen: n ist hier immer eine natürliche Zahl - halt der Laufindex der Folge. Die letzte Ungleichung ist für positive n wahr - aber das musst du nicht zeigen.
> Wenn ich n=0 und [mm]\varepsilon=1/2[/mm] , dann es gibt
> Widerspruch |f(x) - [mm]f_{n}|> \varepsilon.[/mm] ist das ein
> bisschen richtig?? :)
Epsilon fixiert ist gut - n fixiert ist schlecht, du musst für jedes n ein x finden so dass [m]|f_n(x)-f(x)|\ge \varepsilon[/m]. Setze dich doch bitte mal den Definitionen auseinander - sind die klar? Ist es klar, wie man vorgeht, wenn man zeigen will, das es nicht glm. konvergiert? Was mit dem Grenzwert, den ich oben angesprochen habe für x gegen a?
SEcki
|
|
|
|
