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| Aufgabe | | Konvergiert die Funktionenfolge [mm] f_n:(0,\infty)\to\IR, x\mapsto \wurzel[n]{x} [/mm] gleichmäßig? |
Guten Tag allerseits,
ich bin mir bei meiner Beweisführung nicht ganz sicher. Meiner Meinung nach ist diese Funktionenfolge nicht gleichmäßig konvergent.
[mm] f_n(x) [/mm] konvergiert punktweise gegen f(x)=1
Wenn man also zeigen kann, dass: [mm] \exists_{\varepsilon>0}\forall_{N\in\IN}\exists_{n\ge\IN}\exists_{x\in D}: |f_n(x)-f(x)|\ge\varepsilon [/mm] dann ist [mm] f_n(x) [/mm] nicht gleichmäßig stetig.
Dasselbe gilt auch, wenn man eine Folge [mm] x_n \in [/mm] D für alle [mm] n\in\IN [/mm] findet, so dass die obige Ungleichung erfüllt ist.
Wenn ich jetzt eine Folge [mm] x_n [/mm] wähle mit [mm] x_n=\bruch{1}{2^n} [/mm] so gilt doch: [mm] |f_n(x_n)-f(x_n)|=\bruch{1}{2}\ge \varepsilon [/mm]
Damit müsste ich doch gezeigt haben, dass die Funktionenfolge nicht gleichmäßig konvergent ist oder?
Vielen Dank,
Alex
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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super danke!
Ich hätte vielleicht noch eine Frage, weil ich mir da zur Zeit noch den Kopf daran zerbreche ...
Wenn [mm] f_n [/mm] eine Folge von nicht-stetigen Funktionen ist, welche gleichmäßig gegen f konvergiert. Ist dann die Grenzfunktion f notwendigerweise ebenfalls nicht stetig?
Ich tue mir da relativ schwer so eine Funktionenfolge überhaupt zu finden ...
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Huhu,
versuchs doch mal mit
[mm] $f_n(x)=\begin{cases} x, & x \le \bruch{1}{n} \\ 0, &\mbox{ sonst} \end{cases}$ [/mm] auf [mm] $[0,\infty)$.
[/mm]
MFG,
Gono.
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