Gleichmäßige Konvergenz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:52 Fr 15.04.2005 | | Autor: | QCO |
Hallo, ich tappe bei folgender Aufgabe ganz schön im Dunkeln:
Man untersuche auf gleichmäßige Konvergenz in [0,1]:
[mm] f_{n}(x) = \bruch{1}{1+n*x}[/mm]
Nach einer kurzen grafischen Betrachtung habe ich erstmal vermutet, dass glm. Konvergenz vorliegt (bin mir aber selbst da nicht sicher).
Nun wollte ich das mit dem Cauchy-Kriterium beweisen, komme da aber nicht weiter...
Behauptung: [mm] \forall \;\varepsilon > 0[/mm] gilt [mm]\left| f_{n}(x) - f_{m}(x) \right| < \varepsilon \quad \forall \; m,n \ge n(\varepsilon) \; und \;\forall x\in[0,1][/mm]
Eingesetzt wäre das dann:
[mm]\left| \bruch{1}{1+n*x} - \bruch{1}{1+m*x} \right| < \varepsilon[/mm]
Nun müsste ich das irgendwie abschätzen, aber ich weiß nicht wie...
Würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:09 Fr 15.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Nein, die Funktionenfolge ist nicht gleichmäßig konvergent auf $[0,1]$.
Ansonsten gäbe es nämlich für [mm] $\varepsilon:= \frac{1}{2}>0$ [/mm] ein [mm] $n_0 \in \IN$, [/mm] so dass für alle $n [mm] \ge n_0$ [/mm] und alle $x [mm] \in [/mm] [0,1]$ gelten würde:
[mm] $\left\vert \frac{1}{1+nx} \right\vert [/mm] < [mm] \frac{1}{2}$.
[/mm]
Nun gilt aber für [mm] $x:=\frac{1}{n_0} \in [/mm] [0,1]$:
[mm] $\frac{1}{1+n_0 \cdot \frac{1}{n_0}} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}$,
[/mm]
Widerspruch.
Viele Grüße
Julius
|
|
|
|
