Gleichmäßige Konvergenz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:54 Sa 04.11.2006 | | Autor: | bastue |
Hallo liebe Leute,
mir geht es um ein Verständnisproblem der gleichmäßigen Konvergenz, hab hier ein wenig geschaut , und auch auf ner anderen Website naja, bereits einen Antwortversuch von wem anders zu derselben Frage gesehen, aber der hat mich nicht weitergebracht...
Es geht um die Funktion, die sowohl im Königsberger beschrieben wird, als auch bei Wikipedia :)
[mm] f_n(x)=x^n
[/mm]
und f(x) = 0 ( x <1 ) und 1 für x=1
Glm. Konvergenz = || [mm] f_n [/mm] - f || _D --> 0 für n--> unendlich
bzw im kb steht noch " zu jedem epsilon größer null gibt es eine unverselle schranke N=n(epsilon) so, dass für alle n>N und alle x aus D gilt [mm] |f_n(x)-f(x)|
Mir ist nicht so ganz klar, wie man hier begründet, dass die nicht gleichmäßig ist , im kb steth ||fn-f|| ist in diesem Fall = 1 , wie kommt man denn dadrauf, dass ist doch die Supremumsnorm für jedes x aus dem definitionsbereich ?
In einem anderen Beitrag hier hab ich gefunden
"Wie du siehst, wurden hier die Quantoren für das x und das $ [mm] n_0 [/mm] $ einfach vertauscht. Somit bedeutet das anschaulich, daß das zu findende $ [mm] n_0 [/mm] $ nicht mehr von der Wahl des x abhängig ist.
"
Aber das sorgt irgendwie alles nur für Verwirrung bei mir !
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:02 Sa 04.11.2006 | | Autor: | DesterX |
Hallo Basti,
du musst dir sicher erstmal ganz genau die Definition der punktweisen und gleichmäßigen Konvergenz anschauen-
[mm] f_n [/mm] -> f pkt'weise [mm] :\gdw \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists N=N(\varepsilon,x) \in \IN: \forall [/mm] n > N : [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |f_n-f| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für x [mm] \in [/mm] D
[mm] f_n [/mm] -> f glm'mäßig [mm] :\gdw \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists N=N(\varepsilon) \in \IN: \forall [/mm] n > N : [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |f_n-f| <\varepsilon [/mm] und das [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] D
Wo liegen also die Unterschiede? Nun, bei der punktweisen Konvergenz schaue ich mir ein bestimmtes x [mm] \in [/mm] D an, wähle, sofern möglich, danach mein Schranke N - dh ich wähle sie in Abhängigkeit von x -
dies wird dir bei dieser Fkt natürlich gelingen - nenne mir ein x, ich sage dir eine Schranke N und es passt - offenbar liegt pkt'weise Kovergenz vor! Allerdings fällt auf: Je näher du mir ein x nahe der 1 nennst, werde ich das N immer größer wählen müssen -
andererseits werde ich dir keine Schranke N nennen können, die [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] D das Kriterium erfüllt! Nehme ich nun eine Schranke N, wirst du stets ein x noch näher an der 1 finden, so dass diese Schranke zu klein ist! Ganz egal wie groß ich das N [mm] \in \IN [/mm] zuvor gewählt habe, bekommst du das hin!
Mit anderen Worten: Ich finde so eine Schranke nur, wenn ich schon das x kenne, ich wähle sie also in Abhängigkeit von x! Dies widerspricht der Defintion der glm. Konvergenz, hier sollte ich eine universelle Schranke N finden [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] D - das jedoch gelingt hier aus oben genannten Gründen aber nicht! Also kovergiert die Funktion auf D nicht glm.!
Ist es dir evtl nun klarer? Sonst frage nochmal nach...
Viele Grüße
Dester
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