Gleichmäßige Konv. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:58 Sa 06.05.2006 | | Autor: | Fry |
| Aufgabe | Man soll [mm] \summe_{i=1}^{\infty} f_{n} [/mm] betrachten. [mm] f_{n}: \IC [/mm] -> [mm] \|C
[/mm]
[mm] f_{n}(z) [/mm] = 1/n , falls 1/(n+1) < |z| < 1/n
0, ansonsten
Man soll die unendliche Reihe auf gleichmäßige, absolut-gleichmäßige und normale Konvergenz untersuchen. |
Hallo zusammen !
ich steh bei der Aufgabe aufm Schlauch, kann mir jemand helfen ?
Würde mich über Tipps und Lösungen freuen.
MfG
Fry
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:31 Sa 06.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Fry!
> Man soll [mm]\summe_{i=1}^{\infty} f_{n}[/mm] betrachten. [mm]f_{n}: \IC[/mm]
> -> [mm]\|C[/mm]
> [mm]f_{n}(z)[/mm] = 1/n , falls 1/(n+1) < |z| < 1/n
> 0, ansonsten
> Man soll die unendliche Reihe auf gleichmäßige,
> absolut-gleichmäßige und normale Konvergenz untersuchen.
Da fuer die [mm] $f_n$ [/mm] gilt [mm] $f_n(z) [/mm] = [mm] |f_n(z)|$ [/mm] wuerde aus der gleichmaessigen Konvergenz auch die absolut-gleichmaessige und die normale Konvergenz folgen.
Also versuch dich doch mal mit dieser. Wenn du ein festes $z [mm] \in \IC$ [/mm] waehlst, fuer wieviele Summanden [mm] $f_n(z)$ [/mm] gilt dann ueberhaupt [mm] $f_n(z) \neq [/mm] 0$?
Gibt dir das eine Idee, wie du [mm] $\left|\sum_{n=k}^\infty f_n(z)\right|$ [/mm] fuer festes $k [mm] \in \IN$ [/mm] und alle $z [mm] \in \IZ$ [/mm] abschaetzen kannst?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Mo 08.05.2006 | | Autor: | Fry |
Hallo Felix,
danke für die schnelle Antwort, allerdings hab ich keine Ahnung, wie ich die Summe abschätzen könnte :-( . Könntest du mir helfen ?
Grüße
Fry
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:59 Mo 08.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Fry!
> danke für die schnelle Antwort, allerdings hab ich keine
> Ahnung, wie ich die Summe abschätzen könnte :-( . Könntest
> du mir helfen ?
Du solltest dich wirklich zuerst mit diesem Teil meiner Antwort beschaeftigen:
> Also versuch dich doch mal mit dieser. Wenn du ein festes $z [mm] \in \IC$
[/mm]
> waehlst, fuer wieviele Summanden [mm] $f_n(z)$ [/mm] gilt dann ueberhaupt [mm] $f_n(z) \neq [/mm] 0$?
Wenn du das herausgefunden hast solltest du auch den Rest hinbekommen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 Mo 08.05.2006 | | Autor: | Fry |
Hallo,
Problem hierbei ist natürlich, dass das ganz von der Wahl von z abhängt.
Wenn z außerhalb des Einheitskreis liegt, sind alle [mm] f_n [/mm] = 0.
Auch wenn |z| {1,1/2,1/3, ....1/n} ist, gilt [mm] f_n [/mm] = 0 für alle n.
Allerdings kann man für die anderen z doch nicht bestimmen, wieviele [mm] f_n [/mm] ungleich 0 sind. Ich erkenne da zumindest kein Muster....
LG
Fry
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 Mo 08.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Fry!
> Problem hierbei ist natürlich, dass das ganz von der Wahl
> von z abhängt.
> Wenn z außerhalb des Einheitskreis liegt, sind alle [mm]f_n[/mm] =
> 0.
> Auch wenn |z| {1,1/2,1/3, ....1/n} ist, gilt [mm]f_n[/mm] = 0 für
> alle n.
> Allerdings kann man für die anderen z doch nicht
> bestimmen, wieviele [mm]f_n[/mm] ungleich 0 sind. Ich erkenne da
> zumindest kein Muster....
Wenn $n [mm] \neq [/mm] n'$ ist, kann es dann vorkommen, dass fuer ein festes $z$ sowohl [mm] $f_n(z) \neq [/mm] 0$ als auch [mm] $f_{n'}(z) \neq [/mm] 0$ ist?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:01 Mo 08.05.2006 | | Autor: | Fry |
Hallo Felix,
da nur maximal ein [mm] f_n [/mm] ungleich 0 sein kann, könnte man die Summe doch nach oben durch "1/n" abschätzen. Also ab einem bestimmten Index k=m>N
mit N < 1/|z| < N+1 kann man die Summe nach oben abschätzen mit 1/N bzw 0 abschätzen. Die Summe von m bis n würde also kleiner als jedes beliebige Epsilon werden, oder ? Aber wie kann man das vernünftig aufschreiben ?
Würde mich wirklich freuen, wenn du mir dabei helfen könntest.
Lg
Fry
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:21 Di 09.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Fry!
> da nur maximal ein [mm]f_n[/mm] ungleich 0 sein kann, könnte man die
> Summe doch nach oben durch "1/n" abschätzen. Also ab einem
> bestimmten Index k=m>N
> mit N < 1/|z| < N+1 kann man die Summe nach oben
> abschätzen mit 1/N bzw 0 abschätzen.
Genau. Das gilt auch fuer alle $z$ mit $|z| < 1/N$: Fuer die gilt [mm] $\sum_{n=1}^\infty |f_n| \le \frac{1}{N}$.
[/mm]
> Die Summe von m bis
> n würde also kleiner als jedes beliebige Epsilon werden,
> oder ? Aber wie kann man das vernünftig aufschreiben ?
Genau. Ist etwa $N$ fixiert, so ist [mm] $\sum_{n=N}^\infty |f_n| \le \frac{1}{N}$, [/mm] da schlimmstenfalls der Summand [mm] $|f_n(x)| \le \frac{1}{N}$ [/mm] fuer alle $n [mm] \ge [/mm] N$ und alle $x [mm] \in \IC$.
[/mm]
Hilft dir das weiter?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:27 Mi 10.05.2006 | | Autor: | Fry |
Hallo,
danke für die Antwort, hab ich auch so ähnlich aufgeschrieben.
MfG
Fry
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:17 Di 09.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Fry!
> > Man soll [mm]\summe_{i=1}^{\infty} f_{n}[/mm] betrachten. [mm]f_{n}: \IC[/mm]
> > -> [mm]\|C[/mm]
> > [mm]f_{n}(z)[/mm] = 1/n , falls 1/(n+1) < |z| < 1/n
> > 0, ansonsten
> > Man soll die unendliche Reihe auf gleichmäßige,
> > absolut-gleichmäßige und normale Konvergenz untersuchen.
>
> Da fuer die [mm]f_n[/mm] gilt [mm]f_n(z) = |f_n(z)|[/mm] wuerde aus der
> gleichmaessigen Konvergenz auch die absolut-gleichmaessige
> und die normale Konvergenz folgen.
Mir faellt grad auf, das es dann nicht wirklich normal konvergieren muss. Zumindest konvergiert es nicht normal auf ganz [mm] $\IC$. [/mm] Auf Mengen, die einen gewissen Abstand zum Nullpunkt wahren, konvergiert es jedoch normal.
LG Felix
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