Gleichmächtigkeit von Mengen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:59 Di 24.10.2006 | | Autor: | Lana04 |
| Aufgabe | Beweisen Sie:
|A [mm] \cup [/mm] B| = |A| + |B| - |A [mm] \cap [/mm] B| |
Hallo!
An dieser Aufgabe sitze ich nun schon seit einigen Stunden, komme aber nicht weiter. Ich weiß, dass ich das wohl durch die Bijektivität beweisen muss, aber ich weiß nicht wie ich das machen soll, da mir das Thema Abbildungen noch etwas schwer fällt.
Ich habe mir schon überlegt, das folgendes gelten muss:
f: |A [mm] \cup [/mm] B| [mm] \to [/mm] |A| + |B| - |A [mm] \cap [/mm] B| und
g: |A| + |B| - |A [mm] \cap [/mm] B| [mm] \to [/mm] |A [mm] \cup [/mm] B|
Das zeichnet die Bijektivität ja aus. Aber wie lautet in diesem Fall die Zuordnungsvorschrift der einzelnen Elemente?
Bin für jede Hilfe dankbar!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:17 Mi 25.10.2006 | | Autor: | Seppel |
Hallo Lana!
Für diese Aufgabe benötigst du die Bijektivität nicht. Du musst dir vielmehr bewusst machen, was die Summe [mm] $\left|A\right| [/mm] + [mm] \left|B\right|$ [/mm] aussagt. Die Anzahl aller Elemente von A wird mit der Anzahl aller Elemente von B addiert. Was ist nun, wenn die Mengen A und B gemeinsame Elemente besitzen? Ist dann [mm] $\left|A\cup B\right|=\left|A\right| [/mm] + [mm] \left|B\right|$ [/mm] ?
Fällt dir nun auf, wie du die Richtigkeit der Aussage zeigen kannst?
Liebe Grüße
Seppel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:36 Mi 25.10.2006 | | Autor: | Lana04 |
> Hallo Lana!
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> Für diese Aufgabe benötigst du die Bijektivität nicht. Du
> musst dir vielmehr bewusst machen, was die Summe
> [mm]\left|A\right| + \left|B\right|[/mm] aussagt. Die Anzahl aller
> Elemente von A wird mit der Anzahl aller Elemente von B
> addiert. Was ist nun, wenn die Mengen A und B gemeinsame
> Elemente besitzen? Ist dann [mm]\left|A\cup B\right|=\left|A\right| + \left|B\right|[/mm]
> ?
Danke für deine Antwort.
Ich weiß natürlich, dass |A [mm] \cup [/mm] B| mehr Elemente hat als |A| + |B|, wenn A und B nicht disjunkt sind, aber wie kann ich das zeigen? Mit einem Beispiel könnte ich das natürlich zeigen, aber nur weil ein Beispiel funktioniert, heißt das ja nicht, dass es immer so ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:56 Mi 25.10.2006 | | Autor: | Seppel |
Hallo Lana!
Du sagst:
Ich weiß natürlich, dass $|A [mm] \cup [/mm] $ B|$ mehr Elemente hat als $|A| + |B|$, wenn A und B nicht disjunkt sind, ...
Diese Aussage ist falsch. Vielmehr ist [mm] $\left|A\cup B\right|\leq \left|A\right|+\left|B\right|$. [/mm] Die Gleichheit ist erfüllt, wenn [mm] $A\cap B=\emptyset$. [/mm] Die Ungleichung ist erfüllt, wenn [mm] $A\cap B\neq \emptyset$. [/mm]
Jetzt musst du nur noch überlegen, was du bei der rechten Seite der Ungleichung hinzufügen musst, damit daraus eine Gleichung wird.
Dann hast du auch schon die Aufgabe gelöst.
Liebe Grüße
Seppel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 Mi 25.10.2006 | | Autor: | Lana04 |
Hallo Seppel!
Ach so, ich hatte einen Denkfehler, der mir jetzt erst auffällt.
In |A [mm] \cup [/mm] B| werden also die gemeinsamen Elemente "automatisch" nur einmal gezählt. D.h. |A \ B| + |B \ A| + |A [mm] \cap [/mm] B|, oder?
Und auf der anderen Seiten steht eben |A| + |B| und die gemeinsamen Elemente werden dann sozusagen doppelt gezählt, so dass die gemeinsamen Elemente abgezogen werden müssen.
Soweit so gut. 
Ich bin gerade dabei alles "mathematischer" aufzuschreiben. Gibt es denn eine allgemeine Definition, dass in |A [mm] \cup [/mm] B| die gemeinsamen Elemente nicht doppelt gezählt werden? Ich kann das ja nicht einfach voraussetzen, nur weil ich es weiß.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:37 Mi 25.10.2006 | | Autor: | Lana04 |
Ok, ich probiere jetzt mal aus aufzuschreiben, dass aus |A [mm] \cup [/mm] B| die rechte Seite folgt.
|A [mm] \cup [/mm] B| [mm] \Rightarrow [/mm] |A| + |B| - |A [mm] \cap [/mm] B|
|A [mm] \cup [/mm] B| [mm] \Rightarrow [/mm] |A \ B| + |B \ A| + |A [mm] \cap [/mm] B|
[mm] \Rightarrow [/mm] |A| - |A [mm] \cap [/mm] B| + |B| - |A [mm] \cap [/mm] B| + |A [mm] \cap [/mm] B|
[mm] \Rightarrow [/mm] |A| + |B| - |A [mm] \cap [/mm] B|
Kann man das so schreiben? Bin mir bei der Schreibweise noch total unsicher.
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Hallo,
der Sachverhalt ist Dir jetzt also klar.
> Ich bin gerade dabei alles "mathematischer"
> aufzuschreiben. Gibt es denn eine allgemeine Definition, ...
> Ok, ich probiere jetzt mal aus aufzuschreiben, dass aus |A
> [mm]\cup[/mm] B| die rechte Seite folgt.
>
> |A [mm]\cup[/mm] B| [mm]\Rightarrow[/mm] |A| + |B| - |A [mm]\cap[/mm] B|
> |A [mm]\cup[/mm] B| [mm]\Rightarrow[/mm] |A \ B| + |B \ A| + |A [mm]\cap[/mm] B|
>
> Kann man das so schreiben?
Nein.
Da steht ja so etwas wie 17 ==> 1+2+14, was sinnlos ist.
Du mußt aber auch nicht nur mathematische Zeichen verwenden. Klar, Deine Hausübungen sollen keine blumigen Schilderungen werden, aber gegen erklärende Worte ist gar nichts einzuwenden.
Oft werden sie sogar verlangt. Auch für den geneigten Leser ist es einfach angenehmer, wenn er nicht drei Stunden nachdenken muß, warum eins aus dem anderen folgt - oder warum der Autor meint, daß eins aus dem anderen folgt.
Worte, die erklären, sind gern gesehen, Worte, die verschleiern, nicht.
Ich würde es ungefähr so angehen:
Es ist A [mm] \cup [/mm] B = (A \ B) [mm] \cup [/mm] (B \ A) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B).
(Wenn das noch nirgends gesagt wurde: begründen/beweisen)
A \ B, B \ A, [mm] A\cap [/mm] B sind paarweise elementfremd.
(Eventuell knapp begründen.)
Daher ist (*) |A [mm] \cup [/mm] B| = |A \ B| + |B \ A | + [mm] |A\cap [/mm] B|.
Es ist A \ B= A \ [mm] (A\cap [/mm] B).
(Knapp begründen)
Also ist |A \ B|= |A| - [mm] |A\cap [/mm] B|.
Analoges gilt für B \ A.
Mit (*) erhält man
|A [mm] \cup [/mm] B| = ...
Ist Dir das mathematisch genug?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:54 Do 26.10.2006 | | Autor: | Lana04 |
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> Ist Dir das mathematisch genug?
>
> Gruß v. Angela
Ja, danke. Allerdings habe ich es heute morgen so abgegeben, wie ich es geschrieben habe, da deine Antwort zu spät kam. Ist ja nicht so schlimm. Mal sehen, ob ich dafür überhaupt noch Punkte bekomme.
Danke nochmals!
Gruß,
Lana
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