Gleichheit zweier Brüche Bew. < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:54 Do 29.10.2009 | | Autor: | dayscott |
| Aufgabe | | für zwei brüche gilt: [mm]\bruch{a}{b} = \bruch{c}{d} [/mm] genau dann wenn die entsprechenden Zähler bzw. Nenner gleich sind. Die Zwei Brüche sollen als gekürzt angenommen werden. |
Also ggt(a,b) = ggt(c,d) = 1.
[mm] ad = bc [/mm]
Ich nehme an Zähler und Nenner sind verschieden.
Also ich würde erst sagen, damit ich alle Fälle abdecke, die Nenner sind gleich aber die Zähler verschieden: [mm]b = d[/mm] aber [mm]a \not= c[/mm] .
Nun will ich zeigen, dass das nicht sein kann, wenn die Brüche gleich sein sollen:
[mm] ad = bc [/mm]
wenn [mm] c \not= a[/mm] ,dann gilt [mm] c * x = a ; x \not= 1[/mm] .
[mm] (c*x) * d = bc[/mm]
[mm] xd = bc[/mm]
hmm und nun ?
Ist der Ansatz womöglich unnötig verkompliziert?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:36 Do 29.10.2009 | | Autor: | abakus |
> für zwei brüche gilt: [mm]\bruch{a}{b} = \bruch{c}{d}[/mm] genau
> dann wenn die entsprechenden Zähler bzw. Nenner gleich
> sind.
Hallo,
das ist bis hierhin falsch
> Die Zwei Brüche sollen als gekürzt angenommen
> werden.
... und wird erst durch diesen Nachsatz korrigiert
> Also ggt(a,b) = ggt(c,d) = 1.
> [mm]ad = bc[/mm]
> Ich nehme an Zähler und Nenner sind
> verschieden.
> Also ich würde erst sagen, damit ich alle Fälle abdecke,
> die Nenner sind gleich aber die Zähler verschieden: [mm]b = d[/mm]
> aber [mm]a \not= c[/mm] .
> Nun will ich zeigen, dass das nicht sein kann, wenn die
> Brüche gleich sein sollen:
> [mm]ad = bc[/mm]
Hallo,
das ist Stückwerk, da du eine genau-dann-wenn-Aussage hast, die du in beiden Richtungen beweisen musst.
Falls a und c von Null verschieden sind, gilt
[mm] \bruch{a}{b} [/mm] = [mm] \bruch{c}{d} \gdw [/mm] ad=bc
Da [mm] \bruch{a}{b} [/mm] weitestgehend gekürzt ist, haben a und b keinen gemeinsamen Teiler außer 1.
Da allerdings der linke Term durch a teilbar ist, muss es der rechte auch sein. Was folgt daraus?
Gruß Abakus
> wenn [mm]c \not= a[/mm] ,dann gilt [mm]c * x = a ; x \not= 1[/mm] .
> [mm](c*x) * d = bc[/mm]
> [mm]xd = bc[/mm]
>
> hmm und nun ?
> Ist der Ansatz womöglich unnötig verkompliziert?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:01 Fr 30.10.2009 | | Autor: | dayscott |
> Da allerdings der linke Term durch a teilbar ist, muss es der rechte auch sein. Was folgt daraus?
a kann in b per Vorrausetzung nicht drinstecken. d.h. a muss in c als Teiler drinstecken. D.h. man könnte sagen
[mm]a*d = c*b [/mm]
[mm]c = \beta *a [/mm]
[mm]a*d = b*(\beta *a)[/mm]
b muss in ad als Teiler enthalten sein, kann nur in d als Teilter enthalten sein.
[mm]a*(\sigma*b) = b*(\beta *a)[/mm]
[mm]\sigma = \beta [/mm]
q.e.d
Was wäre die passende textuelle Begründung?
mit meinem ursprünglichen Ansatz komme ich an einer Stelle zu einer Denkblockade:
[mm]a*d = c*b [/mm]
[mm](c*x) * d = bc[/mm]
[mm]x*d = b[/mm]
wie argumentiere ich an dieser Stelle dass x in b nicht vorkommen kann?
es gilt ja [mm] x = a / c ; [/mm]
a ist teilerfremd mit b aber nicht mit c.
weiterginge es dann so...
[mm]x*d = b[/mm]
[mm]x*d = d*\beta[/mm]
auch q.e.d
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:38 Fr 30.10.2009 | | Autor: | abakus |
> > Da allerdings der linke Term durch a teilbar ist, muss es
> der rechte auch sein. Was folgt daraus?
> a kann in b per Vorrausetzung nicht drinstecken. d.h. a
> muss in c als Teiler drinstecken. D.h. man könnte sagen
> [mm]a*d = c*b[/mm]
> [mm]c = \beta *a[/mm]
> [mm]a*d = b*(\beta *a)[/mm]
> b muss in
> ad als Teiler enthalten sein, kann nur in d als Teilter
> enthalten sein.
> [mm]a*(\sigma*b) = b*(\beta *a)[/mm]
> [mm]\sigma = \beta[/mm]
> q.e.d
> Was wäre die passende textuelle Begründung?
>
> mit meinem ursprünglichen Ansatz komme ich an einer Stelle
> zu einer Denkblockade:
> [mm]a*d = c*b[/mm]
> [mm](c*x) * d = bc[/mm]
> [mm]x*d = b[/mm]
> wie argumentiere ich an dieser Stelle dass x in b
> nicht vorkommen kann?
Hallo,
aus [mm] \bruch{c}{d} [/mm] wird durch erweitern mit x der Bruch [mm] \bruch{cx}{dx}
[/mm]
Nun gilt aber auch [mm] \bruch{a}{b}=\bruch{c}{d} [/mm] und damit [mm] \bruch{a}{b}=\bruch{cx}{dx}.
[/mm]
Falls b=x*d gelten würde, müsste auch a= x*c gelten.
Das widerspricht deiner Voraussetzung, dass beide Brüche (insbesondere [mm] \bruch{a}{b}) [/mm] in weitestgehend gekürzter Form vorliegen.
Gruß Abakus
> es gilt ja [mm]x = a / c ;[/mm]
> a ist teilerfremd mit b aber nicht mit c.
> weiterginge es dann so...
> [mm]x*d = b[/mm]
> [mm]x*d = d*\beta[/mm]
>
> auch q.e.d
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:39 Sa 31.10.2009 | | Autor: | dayscott |
> D.h. man könnte sagen
> [mm]a*d = c*b [/mm]
> [mm]c = \beta *a [/mm]
> [mm]a*d = b*(\beta *a)[/mm]
> b muss in ad als Teiler enthalten sein, kann nur in d als Teilter enthalten > sein.
> [mm]a*(\sigma*b) = b*(\beta *a)[/mm]
> [mm]\sigma = \beta [/mm]
> q.e.d
> Was wäre die passende textuelle Begründung?
"Die Brüche müssen also gleich sein weil die Faktoren, die in b und d als Teiler enthalten sind, gleich sind ( [mm]\sigma = \beta [/mm] )
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