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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:48 Di 12.07.2011 | | Autor: | Braten |
Hallo,
in einem Text habe ich gerade folgende Gleichheiten gelesen. Vielleicht könnt ihr mir weiterhelfen, diese zu verstehen.
Sei V ein Hilbert Raum und A [mm] \in [/mm] L(V) ein stetiger Operator. Dann gilt:
1)
[mm] ker(A)^{\perp}=\overline{Im(A^\*)} [/mm] , wobei der letzte Ausdruck die zugehörige Adjungierte sein soll.
2)
[mm] ker(A^\*)^{\perp} [/mm] = [mm] \overline{Im(A)}
[/mm]
Kann mir zunächst einmal jemand diese Gleichungen erklären?
Ich habe gar keinen Ansatz. Evtl. geht man folgendermaßen vor:
Man hat i.A. diese Zerlegungen:
[mm] 1)H=ker(A)\oplus ker(A)^{\perp}
[/mm]
[mm] 2)H=\overline{im(A)}\oplus(im(A)^{\perp})
[/mm]
Nun könnte man vielleich beweisen, dass gilt:
[mm] ker(A)^{\perp}=\overline{im(A)}=\overline{Im(A^\*)}
[/mm]
Dann wäre 1) gezeigt. Aber ich habe leider keine Ahnung ob das überhaupt stimmt. Die erste Gleichung hier oben scheint mir nach Gefühl schon nicht zu stimmen.
Wie macht man das hier am besten?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:00 Di 12.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> in einem Text habe ich gerade folgende Gleichheiten
> gelesen. Vielleicht könnt ihr mir weiterhelfen, diese zu
> verstehen.
> Sei V ein Hilbert Raum und A [mm]\in[/mm] L(V) ein stetiger
> Operator. Dann gilt:
> 1)
> [mm]ker(A)^{\perp}=\overline{Im(A^\*)}[/mm] , wobei der letzte
> Ausdruck die zugehörige Adjungierte sein soll.
> 2)
> [mm]ker(A^\*)^{\perp}[/mm] = [mm]\overline{Im(A)}[/mm]
>
> Kann mir zunächst einmal jemand diese Gleichungen
> erklären?
> Ich habe gar keinen Ansatz. Evtl. geht man folgendermaßen
> vor:
>
> Man hat i.A. diese Zerlegungen:
> [mm]1)H=ker(A)\oplus ker(A)^{\perp}[/mm]
>
> [mm]2)H=\overline{im(A)}\oplus(im(A)^{\perp})[/mm]
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> Nun könnte man vielleich beweisen, dass gilt:
> [mm]ker(A)^{\perp}=\overline{im(A)}=\overline{Im(A^\*)}[/mm]
> Dann wäre 1) gezeigt. Aber ich habe leider keine Ahnung
> ob das überhaupt stimmt.
Das stimmt nicht. Das siehst Du z.B. an A= [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }.
[/mm]
Zu [mm]ker(A)^{\perp}=\overline{Im(A^\*)}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:
Es gilt:
$x \in ker(A) \gdw Ax=0 \gdw <y,Ax>=0$ für jedes y \in V \gdw $<x,A^\*y>=0$ für jedes y \in V \gdw $x \in Im(A^\*)^{\perp$
Also ist
$ker(A)= Im(A^\*)^{\perp$.
Weiter ist $ Im(A^\*)^{\perp}= \overline{ Im(A^\*)}^{\perp}$ (warum ?)
Damit folgt:
$ker(A)^{\perp}= \overline{ Im(A^\*)}^{\perp \perp} = \overline{ Im(A^\*)}$
FRED
> Die erste Gleichung hier oben
> scheint mir nach Gefühl schon nicht zu stimmen.
>
> Wie macht man das hier am besten?
>
> LG
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