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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:47 So 09.01.2005 | | Autor: | Tito |
Hallo
Meine Aufgabe, bei der ich nicht weiter komme, ist folgende:
Sei V ein euklidischer bzw. unitärer Vektorraum,
[mm] U\subset [/mm] V Untervektorraum von V
Zeige : [mm] (U^{orthogonal})^{orthogonal} [/mm] = U
(Habe den Quelltext für orthogonal nicht gefunden)
Ich habe mir folgendes überlegt, da [mm] U^{orthogonal} [/mm] so definiert ist
[mm] U^{orthogonal}:= [/mm] { v [mm] \in [/mm] V : v orthogonal u für alle u [mm] \in [/mm] U }
müsste
[mm] (U^{orthogonal})^{orthogonal}:= [/mm] { v [mm] \in [/mm] V : v orthogonal u für alle u [mm] \in U^{orthogonal} [/mm] }
[mm] "\subset" [/mm] : Sei v [mm] \in (U^{orthogonal})^{orthogonal} [/mm] , w [mm] \in [/mm] U und u [mm] \in U^{orthogonal} [/mm]
dann ist
[mm] =v_1 u_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] v_m u_m [/mm] = 0 = [mm] w_1u_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] w_m u_m [/mm] = <w,u>
[mm] \gdw u_1 (v_1 [/mm] - [mm] w_1)+ \ldots [/mm] + [mm] u_m (v_m [/mm] - [mm] w_m) [/mm] = 0
(Dies ist natürlich nur für euklidischen VR, aber im unitären ändert sich ja nur, das der zweite Eingang konjungiert wird und somit das gleich bleibt was ich aufgeschrieben habe)
, ist das richtig was ich bis hier her gemacht habe?
Wie komme ich weiter, oder gibt es eine bessere Möglichkeit zu zeigen das [mm] U^{orthogonal})^{orthogonal} [/mm] = U ?
Gruß
Tito
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:54 So 09.01.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Tito!
Im Beutelspacher wird es wie folgt erklärt (der LaTeX Befehl für "orthogonal" ist übrigens "perp", was für "perpendicular" - zu deutsch "senkrecht" - steht):
Sie Menge [mm] $U^{\perp}$ [/mm] beinhaltet genau die Elemente aus $V$, die zu allen Elementen aus $U$ orthogonal sind. Die Menge [mm] $U^{\perp\perp}$ [/mm] beinhaltet genau die Elemente aus V, die zu allen Elementen aus [mm] $U^{\perp}$ [/mm] orthogonal stehen. Betrachten wir nun ein Element [mm] $u\in [/mm] U$. Nach Definition steht jedes Element aus [mm] $U^{\perp}$ [/mm] orthogonal auf $u$, und da die Relation [mm] $\perp$ [/mm] symmetrisch ist, steht auch $u$ orthogonal auf jedem Element aus [mm] $U^{\perp}$. [/mm] Genau das ist allerdings die Bedingung dafür, dass [mm] $u\in U^{\perp\perp}$ [/mm] gilt. Daraus folgt, dass [mm] $U\subset U^{\perp\perp}$. [/mm] Klar soweit?
Über die Dimensionsformel [mm] $dim(U)=k\Rightarrow dim\left( U^{\perp}\right) [/mm] =n-k$ folgt dann sofort [mm] $dim(U)=dim\left( U^{\perp\perp}\right) [/mm] =k$ und somit [mm] $U=U^{\perp\perp}$.
[/mm]
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:04 So 09.01.2005 | | Autor: | Tito |
Danke Hanno,
ja habs verstanden.
Gruß
Tito
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