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Hallo!
Es geht darum, welche Bedingung f erfüllen muss
1) f^-1(f(A))= A und 2) [mm] f(A\cap B)=f(A)\cap [/mm] f(B) ist.
Ich habe mir dazu überlegt, dass f ene injektive Funktion sein muss, da es dann bei
1) zu jedem [mm] f(x)\in [/mm] f(A) höchstens ein x geben kann und es damit auch höchstens ein Urbild gibt, welches in A liegt. Es kann hierbei sein, dass das Urbild die leere Menge ist, diese ist allerdings immer Element von A (wäre dies nicht der Fall müsste die Bedingung an f sein, das diese bijektiv ist)
2) ist f injektiv gilt für ein f(x3) welches im Schnitt von f(A) und f(B) liegt, dass es höchstens ein x3 gibt, welches im Schnitt von A und B liegt. gibt es kein x3 so ist der Schnit von f(A) und f(B) leer und auch [mm] f(A\cap [/mm] B) ist leer.
Also muss auch hier für die Gleichheit keine Bijektivität gefordert werden.
Kann man das so machen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:16 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fuchsschwanz,
als Titel wäre passender: Gleichheit von (Ur-)Bildern von Funktionen.
> Hallo!
>
> Es geht darum, welche Bedingung f erfüllen muss
>
> 1) f^-1(f(A))= A und 2) [mm]f(A\cap B)=f(A)\cap[/mm] f(B) ist.
>
klar ist jedenfalls, dass stets [mm] $$(\star_1)\;\;\;A \subseteq f^{-1}(f(A))\,\text{ für eine beliebige Funktion }\black{f}\,.$$ [/mm]
Ist nämlich $a [mm] \in [/mm] A$, so ist $f(a) [mm] \in f(A)\,$ [/mm] und damit insbesondere $a [mm] \in f^{-1}(f(A))\,.$
[/mm]
> Ich habe mir dazu überlegt, dass f ene injektive Funktion
> sein muss, da es dann bei
> 1) zu jedem [mm]f(x)\in[/mm] f(A) höchstens ein x geben kann und es
> damit auch höchstens ein Urbild gibt, welches in A liegt.
>
> Es kann hierbei sein, dass das Urbild die leere Menge ist,
> diese ist allerdings immer Element von A (wäre dies nicht
Autsch, seit wann gilt denn [mm] $\emptyset \in [/mm] A$ für alle Mengen [mm] $\black{A}$? [/mm] Vielmehr ist es so, dass [mm] $\emptyset \in \text{Pot}(A)$ [/mm] für alle Mengen [mm] $\black{A}$ [/mm] bzw. [mm] $\emptyset \subseteq [/mm] A$ für alle Mengen [mm] $\black{A}$. [/mm]
> der Fall müsste die Bedingung an f sein, das diese bijektiv
> ist)
Also die Sache mit der Injektivität ist schon in Ordnung. Und zwar kannst Du nun sicher beweisen, dass stets
[mm] $$(\star_2)\;\;\; \text{ Ist } $\black{f}$ \text{ injektiv, so gilt } f^{-1}(f(A)) \subseteq A\,.$$ [/mm]
Und damit bist Du auch schon fertig. (Weil [mm] $(\star_1)$ [/mm] ja für eine beliebige Funktion [mm] $\black{f}$ [/mm] gilt, gilt die dort stehende Teilmengenbeziehung insbesondere auch für injektives [mm] $\black{f}$.)
[/mm]
In Deiner Argumentation oben hast Du Dich ein wenig verzettelt:
Ist $y [mm] \in [/mm] f(A)$, so sagst Du ja $y=f(x) [mm] \in [/mm] f(A)$ und im Falle der Injektivität hat dann [mm] $\black{f(x)}=y$ [/mm] entweder ein Urbild oder gar kein Urbild. Das stimmt nicht, sondern: [mm] $\black{y}=f(x)$ [/mm] hat im Falle der Injektivität genau ein Urbild $x [mm] \in A\,.$ [/mm] Denn $y [mm] \in [/mm] f(A)$ kann ja nur gelten, wenn es in der Menge [mm] $\black{A}$ [/mm] mindestens ein [mm] $\black{x}$ [/mm] mit [mm] $f(x)=\black{y}$ [/mm] gibt. Die Injektivität von [mm] $\black{f}$ [/mm] sichert nun, dass es auch höchstens ein solches $x [mm] \in [/mm] A$ geben kann.
Aber wie gesagt: Die Gefahr, dass man sich verzettelt, ist immer gegeben. Eigentlich ist Deine Argumentation okay, nur die Sache mit der Leeremenge... da hast Du zwei Patzer geliefert. Und damit auch den Folgepatzer mit der Bijektivität.
Zeige einfach [mm] $(\star_1)$ [/mm] und [mm] $(\star_2)$, [/mm] und das liefert Dir auch schon die behauptete Mengengleichheit für injektives [mm] $\black{f}$.
[/mm]
> 2) ist f injektiv gilt für ein f(x3) welches im Schnitt von
> f(A) und f(B) liegt, dass es höchstens ein x3 gibt, welches
> im Schnitt von A und B liegt. gibt es kein x3 so ist der
> Schnit von f(A) und f(B) leer und auch [mm]f(A\cap[/mm] B) ist
> leer.
> Also muss auch hier für die Gleichheit keine Bijektivität
> gefordert werden.
>
> Kann man das so machen?
Ne, das fängt schon komisch an. Wenn $y [mm] \in [/mm] (f(A) [mm] \cap [/mm] f(B))$, so gibt es ein $a [mm] \in [/mm] A$ und ein $b [mm] \in [/mm] B$ mit [mm] $y=f(a)=f(b)\,.$ [/mm] Dabei kann i.a. $a [mm] \not=b$ [/mm] gelten, von daher ist der Anfang, wo Du sagst:
$x3$ so, dass $f(x3) [mm] \in [/mm] (f(A) [mm] \cap [/mm] f(B))$ nur deshalb richtig, weil Du [mm] $\black{f}$ [/mm] als injektiv voraussetzt.
Ich würde Dir auch hier wieder folgendes empfehlen:
1.) Zeige zunächst, dass für eine beliebige Funktion [mm] $\black{f}$ [/mm] gilt, dass stets $$f(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \subseteq [/mm] (f(A) [mm] \cap f(B))\,.$$
[/mm]
2.) Zeige, dass für injektives [mm] $\black{f}$ [/mm] die Mengeninklusion
$$(f(A) [mm] \cap f(B))\subseteq [/mm] f(A [mm] \cap B)\,$$
[/mm]
stets gilt.
P.S.:
Als Anmerkung: Die oben genannte Mengengleichheiten gelten also stets für injektive Funktionen [mm] $\black{f}\,.$ [/mm] Damit gelten sie insbesondere auch für bijektive Funktionen [mm] $\black{f}\,.$ [/mm] Die Bijektivität von [mm] $\black{f}$ [/mm] ist zwar hinreichend für die genannten Mengengleichheiten, aber nicht notwendig. Dies folgt alleine schon aus der Tatsache, dass es ja genügend viele Beispiele für injektive, aber nicht surjektive Funktionen [mm] $\black{f}$ [/mm] gibt.
Gruß,
Marcel
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Hey Marcel!
Danke für deine super ausführlich Antwort...wie ich nun auf die leere Menge gekommen bin, keine Ahnung...tut aber echt weh...
Nun hab ich gelesen, dass [mm] f^-1({y})=\emptyset [/mm] sein kann, was gilt denn für diesen fall?
Lg
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> Nun hab ich gelesen, dass [mm]f^-1({y})=\emptyset[/mm] sein kann,
> was gilt denn für diesen fall?
Hallo,
wenn es ein y in der Zielmenge gibt mit [mm] f^-1({y})=\emptyset [/mm] weiß man, daß kein Element auf y abgebildet wird.
Also ist die Funktion f nicht ...
Gruß v. Angela
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> nicht injektiv ist?
Nee, wenn es in der Zielmenge ein Element gibt, auf das keins abgebildet wird, ist die Funktion nicht surjektiv.
Oder meintest Du irgendwas anderes?
Gruß v. Angela
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ne, ich war verwirrt...aber inwiweit hilft mir das bei der Frage injektiv oder bijektiv?
das obige Beispiel mit der leeren Menge bezog sich auf eine injektive Funktion...
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Wenn Du eine injektive Funktion hast, die nicht surjektiv ist, dann ist sie icht bijektiv.
gruß v. Angela
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also das Urbild einer injektiven Funktion kann leer sein, ist dies der Fall dann hat ein y aus Y kein x in X, damit ist die Funktion nicht surjektiv, und da sie zwar injetiv aber nicht surjektiv ist, ist die Funktion nicht bijektiv...richtig?
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> also das Urbild
eines Elementes der Zielmenge
> einer injektiven Funktion kann leer sein,
> ist dies der Fall dann hat ein y aus Y kein x in X, damit
> ist die Funktion nicht surjektiv, und da sie zwar injetiv
> aber nicht surjektiv ist, ist die Funktion nicht
> bijektiv...richtig?
>
Ja.
Gruß v. Angela
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