Gleichheit von Bild und Kern < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es sei K ein Körper, V ein n-dimmensionaler K-vektroraum mit n element N ohne {0,1} und f element Endomorphismus(V). Zeigen Sie:
a) Ist Bild(f) = Kern (f), dann ist n gerade
b) Ist n gerade, dann gibt es ein f element Endomorphismus(V) mit Bild(f) = Kern(f)
Wobei f eine lineare Abbildung ist. |
Hallo,
Aufgabe a) habe ich mal versucht zu lösen und scheint mir auch richtig zu sein.
Beweis zu a)
Nach Dimenionssatz gitl : dim(V) = dim(Bild(f)) + dim(Kern(f))
[mm] \gdw [/mm] dim(Bild(f)) = dim(V-Kern(f)) = dim(V) - dim(Kern(f)) (Bemerkung)
Sei Bild(f) = Kern(f)
[mm] \gdw [/mm] dim(Bild(f)) = dim(Kern(f))
[mm] \gdw [/mm] (nach Bemerkung) dim(V)-dim(Kern(f)) = dim(Kern(f))
[mm] \gdw [/mm] n - dim(Kern(f)) = dim(Kern(f)) , da dim(V) = n nach Aufgabenstellung
[mm] \gdw [/mm] n- Kern(f) = Kern(f)
[mm] \gdw [/mm] n = 2Kern(f), sei hier Kern(f)=x
[mm] \Rightarrow [/mm] n = 2x
[mm] \Rightarrow [/mm] n gerade
soweit richtig????
wie kann ich b) machen? Habe mir lange Gedanken gemacht und ausprobiert wei ein verrückert aber nie etwas vernünftiges rausbekommen.
danke für eure Hilfe
mfg
|
|
| |
|
Hallo,
zur (a): Ersetze nur am Ende des Beweises ''Kern(f)'' durch ''dim(Kern(f))'', damit es auch formal richtig geschrieben ist, ansonsten ok.
Zur (b): Diese Aufgabe gab es schonmal im Matheraum. Sei [mm] B=\{b_1,\ldots, b_{2k}\} [/mm] eine Basis von V mit 2k=n=dim(V),
dann definiert [mm] f(b_j)=0,\:1\leq j\leq [/mm] k und [mm] f(b_j)=b_{j-k},\: k+1\leq j\leq [/mm] 2k=n
einen solchen Endomorphismus - den Beweis dazu kannst Du ja selber erst mal probieren.
Gruss,
Mathias
|
|
|
|
