Gleichheit beweisen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:00 Fr 21.10.2011 | | Autor: | hilbert |
| Aufgabe | Zeigen sie per vollständiger Induktion:
[mm] \summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\ i}^2 [/mm] = [mm] \vektor{2n \\ n} [/mm] |
Hallo VorhilfeTeam,
diese Aufgabe macht mir schwer zu schaffen.
Der Induktionsanfang ist ja trivial deswegen versuche ich mich hier nur am Induktionsschluss.
[mm] \summe_{i=0}^{n+1}\vektor{n+1 \\ i}^2 [/mm] = 1 + [mm] \summe_{i=0}^{n}\vektor{n+1 \\ i}^2
[/mm]
Wie bekomme ich in der Summe jetzt aus dem n+1 ein n? Habe schon so viel probiert und es ist alles total verunglückt.
Bringt mir die Schreibweise mit dem Produkt oder als Bruch hier mehr?
Schonmal Danke im Voraus
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moin hilbert,
Kennst du die Regeln wie man Binomialkoeffizienten auseinanderziehen darf?
Welche Rechenregeln kennst du hier allgemein?
Je nachdem was du da zur Verfügung hast entscheidet jeweils wie du am besten vorgehen solltest.
Wenn dir garnix einfällt ist eine Schreibweise als Produkt natürlich nicht das falscheste.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 Fr 21.10.2011 | | Autor: | hilbert |
Folgende Sachen weiß ich:
[mm] \vektor{n+1 \\ k} [/mm] = [mm] \vektor{n \\ k-1} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ k}
[/mm]
[mm] \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] \vektor{n \\ n-k}
[/mm]
und den binomischen Lehrsatz mit [mm] (x+y)^n [/mm] kenne ich noch.
Andere Summen, die ich z.b. bei Wikipedia finde kenne ich nicht.
Wie könnte ich denn da vorgehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:23 Fr 21.10.2011 | | Autor: | abakus |
> Folgende Sachen weiß ich:
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> [mm]\vektor{n+1 \\ k}[/mm] = [mm]\vektor{n \\ k-1}[/mm] + [mm]\vektor{n \\ k}[/mm]
>
Damit gilt also auch [mm]\vektor{n+1 \\ i}[/mm] = [mm]\vektor{n \\ i-1}[/mm] + [mm]\vektor{n \\ i}[/mm]
Gruß Abakus
> [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] = [mm]\vektor{n \\ n-k}[/mm]
>
> und den binomischen Lehrsatz mit [mm](x+y)^n[/mm] kenne ich noch.
>
> Andere Summen, die ich z.b. bei Wikipedia finde kenne ich
> nicht.
>
> Wie könnte ich denn da vorgehen?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:41 Fr 21.10.2011 | | Autor: | hilbert |
So hab mal was versucht:
1 + [mm] \summe_{i=1}^{n}\vektor{n+1 \\ i}^2= [/mm] 1+ [mm] \summe_{i=1}^{n}(\vektor{n \\ i-1}+\vektor{n \\ i})^2
[/mm]
also 1+ [mm] \summe_{i=1}^{n}(\vektor{n \\ i-1}^2 [/mm] + 2* [mm] \vektor{n \\ i-1}\vektor{n \\ i}+\vektor{n \\ i}^2)
[/mm]
=1+ [mm] \summe_{i=1}^{n}\vektor{n \\ i-1}^2 [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{n}\vektor{n \\ i}^2 [/mm] + [mm] 2\summe_{i=1}^{n}\vektor{n \\ i-1}\vektor{n \\ i}
[/mm]
So. Wenn ich auf die erste Summe einen Indexverschiebung mache, kann ich dann da die IV anwenden, wenn ich so ein bischen aus der Summe zieh? Auf den zweiten Summanden geht das ja ohne Probleme. Was mache ich jetzt mit dem letzten? Gibt es da auch eine Identität?
Schobnal vielen Dank
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Sa 22.10.2011 | | Autor: | hilbert |
Ich habe jetzt noch einmal ein wenig drüber nachgedacht und komme auf wieder auf folgendes:
1 + [mm] \vektor{2n \\ n} [/mm] + [mm] 2\summe_{i=0}^{n} \vektor{n \\ i} \vektor{n \\ i-1} [/mm] + [mm] \summe_{i=0}^{n} \vektor{n \\ i-1}^2.
[/mm]
Ist die letzte Summe überhaupt definiert für i = 0?
Und was mache ich mit der Summe in der Mitte?
Weiß hier echt nicht mehr weiter =/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:27 Sa 22.10.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
Du solltest mit den Summenindizes (genauer gesagt den Grenzen) vorsichtiger sein. Gerade bei Aufgaben dieser Art.
> Ist die letzte Summe überhaupt definiert für i = 0?
für i=0 wäre der Summand 0, aber ging die Summe in der Zeile zuvor nicht eh bei 1 los?
Jetzt mal vollständig:
Wir zerlegen mit der Rekursionsgleichung:
$ [mm] \summe_{i=0}^{n+1}\vektor{n+1 \\ i}^2= \sum_{i=0}^{n+1} {n\choose i-1}^2 [/mm] + [mm] \sum_{i=0}^{n+1} {n\choose i}^2 [/mm] + [mm] 2\sum_{i=0}^{n+1} {n\choose i}{n\choose i-1}=$
[/mm]
Die ersten beiden Summen ergeben sich aus Indexverschiebung und Induktionsvoraussetzung:
[mm] $={2n\choose n}+{2n\choose n}+2\sum_{i=1}^{n} {n\choose (n-1)-(i-1)}{n\choose i-1}=$
[/mm]
Und die letzte aus der Vandermondeschen Identität:
[mm] $=2{2n\choose n}+2{2n\choose n-1}$
[/mm]
Und das ist wieder aus der Rekursionsgleichung (2mal):
[mm] $={2n+2\choose n+1}$
[/mm]
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 Sa 22.10.2011 | | Autor: | hilbert |
Okay das verstehe ich glaub ich.
Aber was mit mit dem n+1 en Glied in der 2en Summe?
Dass wäre ja n über n+1 ist das dann auch 0 ?
Aber vielen Dank =)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:59 Sa 22.10.2011 | | Autor: | Blech |
> Dass wäre ja n über n+1 ist das dann auch 0 ?
Wass ist denn die Anzahl der Möglichkeiten n+1 Elemente aus n Elementen zu ziehen? 0. Also ist der Binomialkoeffizient auch 0.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:30 Mo 24.10.2011 | | Autor: | hilbert |
Okay ich habs nochmal probiert und habe momentan nur ein Problem:
[mm] \summe_{i=0}^{n+1}\vektor{n+1 \\ i}^2
[/mm]
= [mm] \summe_{i=0}^{n+1}\vektor{n \\ i}^2 [/mm] + [mm] \summe_{i=0}^{n+1}\vektor{n \\ i-1}^2 [/mm] + [mm] 2\summe_{i=0}^{n+1}\vektor{n \\ i}\vektor{n \\ i-1}
[/mm]
= [mm] \vektor{n+1 \\ n+1} [/mm] + [mm] \summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\ i}^2 [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{n+1}\vektor{n \\ i-1}^2 [/mm] + [mm] 2\summe_{i=0}^{n+1}\vektor{n \\ i}\vektor{n \\ i-1}
[/mm]
= 1 + [mm] \vektor{2n \\ n} [/mm] + [mm] \summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\ i}^2 [/mm] + [mm] 2\summe_{i=0}^{n+1}\vektor{n \\ i}\vektor{n \\ i-1}
[/mm]
= 1 + [mm] 2\vektor{2n \\ n} [/mm] + [mm] 2\summe_{i=1}^{n+1}\vektor{n \\ (n-1)-(i-1)}\vektor{n \\ i-1}
[/mm]
= 1 + [mm] 2\vektor{2n \\ n} [/mm] + [mm] 2\vektor{2n \\ n-1}
[/mm]
Wie gehts jetzt hier genau weiter, dass ich auf [mm] \vektor{2n+2 \\ n+1}
[/mm]
komme?
Vielen Dank im Voraus!
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Hallo hilbert,
> Okay ich habs nochmal probiert und habe momentan nur ein
> Problem:
>
> [mm]\summe_{i=0}^{n+1}\vektor{n+1 \\
i}^2[/mm]
>
> = [mm]\summe_{i=0}^{n+1}\vektor{n \\
i}^2[/mm] +
> [mm]\summe_{i=0}^{n+1}\vektor{n \\
i-1}^2[/mm] +
> [mm]2\summe_{i=0}^{n+1}\vektor{n \\
i}\vektor{n \\
i-1}[/mm]
>
> = [mm]\vektor{n+1 \\
n+1}[/mm] + [mm]\summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\
i}^2[/mm] +
> [mm]\summe_{i=1}^{n+1}\vektor{n \\
i-1}^2[/mm] +
> [mm]2\summe_{i=0}^{n+1}\vektor{n \\
i}\vektor{n \\
i-1}[/mm]
>
> = 1 + [mm]\vektor{2n \\
n}[/mm] + [mm]\summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\
i}^2[/mm]
> + [mm]2\summe_{i=0}^{n+1}\vektor{n \\
i}\vektor{n \\
i-1}[/mm]
>
> = 1 + [mm]2\vektor{2n \\
n}[/mm] + [mm]2\summe_{i=1}^{n+1}\vektor{n \\
(n-1)-(i-1)}\vektor{n \\
i-1}[/mm]
>
> = 1 + [mm]2\vektor{2n \\
n}[/mm] + [mm]2\vektor{2n \\
n-1}[/mm]
>
> Wie gehts jetzt hier genau weiter, dass ich auf
> [mm]\vektor{2n+2 \\
n+1}[/mm]
> komme?
Es gilt [mm] \vektor{2n\\n-1}=\vektor{2n\\n+1} [/mm] und damit
[mm] 2\vektor{2n\\n}+2\vektor{2n\\n-1}=\vektor{2n\\n-1}+\vektor{2n\\n}+\vektor{2n\\n}+\vektor{2n\\n+1}=\vektor{2n+1\\n}+\vektor{2n+1\\n+1}=\vektor{2n+2\\n+1}
[/mm]
Grüße
reverend
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 00:41 Mo 24.10.2011 | | Autor: | hilbert |
Und was ist mit der 1?
so komme ich ja jetzt auf 1 + [mm] \vektor{2n+2 \\ n+1}
[/mm]
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Hallo nochmal,
> Und was ist mit der 1?
>
> so komme ich ja jetzt auf 1 + [mm]\vektor{2n+2 \\
n+1}[/mm]
Tja, das stimmt. Ich sehe den Fehler gerade nicht. Er muss aber vorher liegen. Wenn ich morgen Zeit habe und etwas wacher bin, schaue ich gern nochmal drüber.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:07 Mo 24.10.2011 | | Autor: | hilbert |
Kann es sein, dass es hier schon an der Identität liegt?
[mm] \summe_{i=1}^{n}\vektor{n \\ i}\vektor{n \\ i-1} [/mm] = [mm] \vektor{2n \\ n-1}
[/mm]
Nach Wikipedia sollte die Summe nur bis nach n-1 gehen, da ich ja auch 2n über n-1 habe und zweitens stimmt diese Gleichung hier schon nicht für n = 1 oder?
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Hallo hilbert,
> Kann es sein, dass es hier schon an der Identität liegt?
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}\vektor{n \\
i}\vektor{n \\
i-1}[/mm] = [mm]\vektor{2n \\
n-1}[/mm]
>
> Nach Wikipedia sollte die Summe nur bis nach n-1 gehen, da
> ich ja auch 2n über n-1 habe und zweitens stimmt diese
> Gleichung hier schon nicht für n = 1 oder?
Die Identität ist aber wie oben angegeben korrekt.
Für n=1 steht da ja [mm] \vektor{1\\1}\vektor{1\\0}=\vektor{2\\0}, [/mm] was richtig ist.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:58 Mo 24.10.2011 | | Autor: | hilbert |
Dann weiß ich nicht wie ich die 1 wegbekomme =/ Die ist ja anscheinend zu viel.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:19 Mo 24.10.2011 | | Autor: | Blech |
> Dann weiß ich nicht wie ich die 1 wegbekomme
Ich, andererseits, hab keine Ahnung, wo Du die 1 herkriegst. =)
Woher kommt das [mm] ${n+1\choose n+1}$?
[/mm]
Außerdem seh ich bei der letzten Summe noch nicht, warum Du da die Vandermondesche Identität anwenden kannst.
ciao
Stefan
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