Gleichheit? < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:30 Mo 04.02.2008 | | Autor: | Zorba |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{a}^{b}{h(x)f(x) dx}=\integral_{a}^{b}{g(x)f(x) dx} [/mm] |
Folgt hieraus bereits h(x)=g(x) ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:42 Mo 04.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein!
setze f(x)=1 dann siehst dus direkt. 2 gleiche Flächeninhalte können seehr verschieden Graphen haben.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Mo 04.02.2008 | | Autor: | Zorba |
Hmm, danke, das hab ich mir so ähnlich auch überlegt.
Habe nämlich folgende Aufgabe:
Sei a<b (a,b [mm] \in \IR) [/mm] und X={u [mm] \in C^{1}([a,b];\IR)|u(b)=0 [/mm] }
Es gilt für alle [mm] \gamma(x) [/mm] :
[mm] \integral_{a}^{b}{u'(x)\gamma'(x)dx}=\integral_{a}^{b}{f(x)\gamma'(x)dx}
[/mm]
Ist nun zusätzlich u [mm] \in C^{2}(a,b) \cap [/mm] X so folgt
-u''= f u(b)=0, u'(a)=0
Ich habe partiell integriert und komme auf die Integralgleichheit meiner Ausgangsfrage. Aber wie mache ich nun weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:30 Mo 04.02.2008 | | Autor: | leduart |
hallo
Damit ist die Lage völlig anders. denn da steht ja: für ALLE [mm] \gamm(x)!
[/mm]
Kannst du mal die Aufgabe vollständig aufschreiben, was ist Vors. was die Behauptung? steht da wirklich u(b)= 0 nicht etwa u'(b)=0?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:37 Mo 04.02.2008 | | Autor: | Zorba |
Ja es steht in der Aufgabe u(b) = 0.
Irgendwie versteh ich auch nich so ganz, was ich voraussetzen darf und was nicht. Wäre sehr froh wenn du mir helfen kannst.
Es ist übrigens u das Minimum von E über X, d.h. E(u) <= E(v) für alle v [mm] \in [/mm] X
wobei E(u)= 1/2 [mm] \integral_{a}^{b}{u'(x)²dx} [/mm] - [mm] \integral_{a}^{b}{f(x)u(x)dx}
[/mm]
Ich hab das vorher nicht dazu geschrieben, da ich nicht sicher bin ob das relevant für die Aufgabe ist. Stammt aus dem a) Teil meiner Aufgabe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:22 Di 05.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
formulierst Du mal bitte die Aufgabe vollständig oder gibst einen Link zur Aufgabe an? Denn:
1.) $u(b)=0$ ist klar, da [mm] $X=\{g \in C^{1}([a,b];\IR)|g(b)=0\}$ [/mm] war und $u [mm] \in [/mm] X [mm] \cap C^2(a,b)$, [/mm] also insbesondere $u(b)=0$ wegen $u [mm] \in [/mm] X$.
(vgl. Definition von $X$ in https://matheraum.de/read?i=363139)
2.) Du sprichst von Deiner "Ausgangsfrage", ich habe keine Ahnung, was Du damit meinst. Die Frage hier:
https://matheraum.de/read?i=363108
wurde bereits mit "Nein" beantwortet. Danach hast Du die Gleichung mit dem Integral verschärft, und ich nehme an, dass Du vll. wissen willst, ob mit diesen Zusatzvoraussetzungen dann doch $h=g$ folgt?!
Ich würde Dir folgendes empfehlen:
Aufgabe komplett abtippen, auch den Teil a), denn wenn eine Aufgabe mehrere Teile hat, ist es nicht selten, dass man Teil a) bei Teil b) verwenden kann usw., oder gib' einen Link zur Aufgabe an.
Wenn Du die Aufgabe abtippst, dann:
Alle Voraussetzungen angeben (Begriffe wie [mm] $C^2(a,b)$ [/mm] brauchst Du dabei nicht explizit erläutern, wenn sie allg. bekannt sind):
Sei $f$... und es gelte für alle [mm] $\gamma$..., [/mm] dass [mm] $\int{...}$...
[/mm]
Dann solltest Du die Behauptung formulieren:
Dann gilt:
...
Und jetzt, wenn erstmal klar ist, was denn eigentlich die Aufgabe ist, kannst Du hingehen und mal Deine Überlegungen und Rechnungen präsentieren. Das kann meinetwegen verkürzt sein:
"Aus der Gleichung ... erhielte ich mittels partieller Integration das folgende...."
Aber dann musst Du Dir bewusst sein:
Wenn Du verkürzt, und Du einen Fehler machst, so kann es passieren, dass wir den Fehler übersehen bzw. Deine Rechnung nicht nachvollziehbar ist.
Und die Gleichung:
Für alle [mm] $\gamma$ ($\in C^1(a,b)$???) [/mm] gilt:
[mm] $\integral_{a}^{b}{u'(x)\gamma'(x)dx}=\integral_{a}^{b}{f(x)\gamma'(x)dx}$
[/mm]
würde
[mm] $\integral_{a}^{b}{(f(x)-u'(x))*\gamma'(x)dx}=0$
[/mm]
implizieren. Dies müsste dann insbesondere gelten, wenn
[mm] $f(x)-u'(x)\equiv \gamma'(x)$
[/mm]
ist.
Würde ich dann also mit einer Stammfunktion $F$ von $f$ (sofern $f$ stetig auf $(a,b)$) und der Stammfunktion $u$ von $u'$ dann
[mm] $\gamma:=F-u$ [/mm] (beachte: insbesondere wäre wegen $f, u' [mm] \in [/mm] C(a,b)$ dann [mm] $\gamma \in C^1(a,b)$!)
[/mm]
betrachten, so wäre [mm] $\gamma'=f-u'$ [/mm] stetig auf $(a,b)$ und oben stünde für diese spezielle Funktion [mm] $\gamma$ [/mm] dann:
[mm] $\integral_{a}^{b}{(f(x)-u'(x))*\gamma'(x)dx}=0$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \integral_a^b (\gamma'(x))^2 [/mm] dx=0$,
und weil [mm] $\gamma'$ [/mm] und damit auch [mm] $\gamma'^2=(\gamma')^2=\gamma'*\gamma'$ [/mm] stetig auf $(a,b)$ ist, folgte dann [mm] $\gamma'^2(x)\equiv [/mm] 0$ und daraus [mm] $\gamma'(x) \equiv [/mm] 0$, also $f(x)-u'(x) [mm] \equiv [/mm] 0$ bzw. [mm] $f(x)\equiv [/mm] u'(x)$
Ich nehme daher schonmal an, dass da irgendwas nicht stimmt, denn Du wolltest ja nicht $f=u'$, sondern $f=-u''$ folgern...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:00 Di 05.02.2008 | | Autor: | Zorba |
| Aufgabe | Sei a<b (a,b $ [mm] \in \IR) [/mm] und X={u [mm] \in C^{1}([a,b]; \IR) [/mm] | u(b)=0 },
E(u)= 1/2 $ [mm] \integral_{a}^{b}{u'(x)²dx} [/mm] $ - [mm] $\integral_{a}^{b}{f(x)u(x)dx} [/mm] $
a) Ist u das Minimum von E über X, d.h. E(u) <= E(v) für alle v $ [mm] \in [/mm] $ X
so folgt für alle $ [mm] \gamma(x) [/mm] $ :
$ [mm] \integral_{a}^{b}{u'(x)\gamma'(x)dx}=\integral_{a}^{b}{f(x)\gamma(x)dx} [/mm] $
b) Ist nun zusätzlich u $ [mm] \in C^{2}(a,b) \cap [/mm] $ X so folgt
-u''= f in (a,b), u(b)=0, u'(a)=0
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Danke, schonmal und entschuldige, dass die Aufgabenstellung so nicht klar rüberkam. Habs jetzt komplett aufgeschrieben.
HABE AUSSERDEM IN TEIL A FÄLSCHLICHERWEISE [mm] \gamma' [/mm] statt [mm] \gamma [/mm] geschrieben. Ist mir dank deiner Argumentation aufgefallen. Habs korrigiert!
Ich denke ich hab Aufgabe a) schon gelöst. Werde mein Ergebnis aber zur Überprüfung nachher noch hier reinstellen.
Aber wie gehe ich nun an b) heran? Partiell integrieren oder doch was anderes?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:39 Di 05.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei a<b ($a,b [mm] \in \IR$) [/mm] und [mm] $X=\{u \in C^{1}([a,b]; \IR) | u(b)=0 \}$, [/mm]
> $E(u)= [mm] \frac{1}{2}\integral_{a}^{b}{u'(x)²dx} -\integral_{a}^{b}{f(x)u(x)dx}$
[/mm]
> a) Ist u das Minimum von E über X, d.h. $E(u) [mm] \le [/mm] E(v)$ für
> alle v [mm]\in[/mm] X
> so folgt für alle [mm]\gamma(x)[/mm] :
>
> [mm] $(\*\*)$[/mm] [mm]\integral_{a}^{b}{u'(x)\gamma'(x)dx}=\integral_{a}^{b}{f(x)\gamma(x)dx}[/mm]
>
> b) Ist nun zusätzlich u [mm]\in C^{2}(a,b) \cap[/mm] X so folgt
>
> -u''= f u(b)=0, u'(a)=0
>
>
> Danke, schonmal und entschuldige, dass die Aufgabenstellung
> so nicht klar rüberkam. Habs jetzt komplett
> aufgeschrieben.
> HABE AUSSERDEM IN TEIL A FÄLSCHLICHERWEISE [mm]\gamma'[/mm] statt
> [mm]\gamma[/mm] geschrieben. Ist mir dank deiner Argumentation
> aufgefallen. Habs korrigiert!
> Ich denke ich hab Aufgabe a) schon gelöst. Werde mein
> Ergebnis aber zur Überprüfung nachher noch hier
> reinstellen.
> Aber wie gehe ich nun an b) heran? Partiell integrieren
> oder doch was anderes?
ich würde einfach mal darauf tippen, dass man mit Teil a) (+partieller Integration(?!); was eigentlich für das Integral linkerhand bei [mm] $(\*\*)$ [/mm] von Teil a) naheliegt, da dort ja der Faktor $u'$ in dem Integrand auftaucht und man hier nach Voraussetzung weiß, dass $u''$ stetig ist!) bei Teil b) zu einer Gleichung, die vielleicht(?!) so aussehen könnte
[mm] $(\*)$ $\integral_{a}^{b}{(u''(x)+f(x))\gamma\mbox{ }'(x)dx}=0$
[/mm]
gelangt und man dann mit einer "geeigneten" Wahl von [mm] $\gamma$ [/mm] folgern kann, dass [mm] $u''(x)+f(x)\equiv [/mm] 0$ (ähnlich wie in meiner anderen Argumentation, wo Du Dich rechterhand verschrieben hattest und dort [mm] $\gamma\mbox{ }'$ [/mm] anstatt [mm] $\gamma$ [/mm] stand).
Also bitte beachte:
Ich habe es nicht gerechnet, daher weiß ich nicht, ob wirklich die Gleichung [mm] $(\*)$ [/mm] herauskommt, aber ich bin mit ziemlich sicher, dass Du [mm] $f(x)\equiv-u''(x)$ [/mm] so herausbekommst, dass da am Ende ein Integral der Art
[mm] $(\*\*\*)$ $\integral_a^b [/mm] (f(x)+u''(x))*h(x)dx=0$
steht, wobei $h$ in irgendeiner Weise mit [mm] $\gamma$ [/mm] oder [mm] $\gamma\mbox{ }'$ [/mm] oder [mm] $\gamma\mbox{ }''$ [/mm] zusammenhängt, so dass man mit einer geeigneten Wahl von [mm] $\gamma$ [/mm] (bzw. $h$) dann mit Stetigkeitsargumenten [mm] $f(x)+u''(x)\equiv [/mm] 0$ folgern kann.
Wie gesagt:
Ich bin mir ziemlich sicher, das heißt aber nicht, dass ich mich nicht irren kann  Und wie sicher ich mit meiner Vermutung liege, weiß ich vielleicht auch dann besser, wenn Du Deine Lösung von Teil a) mal zeigst
Und wie gesagt:
$u(b)=0$ ist wegen $u [mm] \in [/mm] X$ nach Definition von $X$ klar, für [mm] $u\mbox{ }'(a)=0$ [/mm] musst Du vielleicht nochmal was überlegen; da habe ich keine Idee und sehe es auch gerade nicht...
Also der Anfang von Teil b) wird sicherlich so sein:
Nach Teil a) gilt:
[mm] $\integral_{a}^{b}{f(x)\gamma(x)dx}=\integral_{a}^{b}{u'(x)\gamma\mbox{ '}(x)dx}$
[/mm]
Mit p.I. folgt für alle [mm] $\gamma \in C^{1}([a,b]; \IR)$:
[/mm]
(+) [mm] $\integral_{a}^{b}{f(x)\gamma(x)dx}=\integral_{a}^{b}{u'(x)\gamma\mbox{ }'(x)dx}=\left[u'(x)*\gamma(x)\right]_a^b-\integral_{a}^b u''(x)*\gamma(x)dx$ [/mm] (man beachte bei dem letzten Integral, dass $u''$ stetig auf $(a,b)$ nach Voraussetzung und damit dort auch der Integrand stetig ist, das Integral also insbesondere existiert!)
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] ...
Man bräuchte nun noch ein Argument, dass (für unser spezielles [mm] $\gamma$, [/mm] was wir später wählen)
[mm] $\left[u'(x)*\gamma(x)\right]_a^b=0$ [/mm] gilt, und schon erhielte man zwar nicht [mm] $(\*)$, [/mm] aber [mm] $(\*\*\*)$ [/mm] mit [mm] $h=\gamma$ [/mm] und dann sollte Dir mittlerweile klar sein, wie man dann [mm] $\gamma$ [/mm] wählt:
Also Strategie:
Wir setzen
[mm] $\gamma:=f+u''$ [/mm] (beachte: insbesondere [mm] $\gamma \in [/mm] C([a,b]; [mm] \IR)$)
[/mm]
und müssen wegen der Gleichung (+) dann nur noch prüfen, ob hier auch:
[mm] $\left[u'(x)*\gamma(x)\right]_a^b=0$
[/mm]
gilt.
(Dafür wäre es allerdings schön, zu wissen, dass $u'(a)=u'(b)=0$ gilt, also vll. soll man doch in der Aufgabe auch $u'(b)=0$ zeigen?)
Ich hoffe, dass das klappt, und dann ist Dir hoffentlich der Rest klar?!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 Di 05.02.2008 | | Autor: | Zorba |
Ja genau so hab ich das auch gemacht und bei dem von dir erwähnten Argument
> [mm]\left[u'(x)*\gamma(x)\right]_a^b=0[/mm]
hänge ich nun:
Kann ich wegen u(b)= 0 folgern, dass u'(b) =0 ?
Und ist u'(a) eine Voraussetzung, eig ja nicht, da sie in Teil b) nach dem "folgt" steht ??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:29 Di 05.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ja genau so hab ich das auch gemacht und bei dem von dir
> erwähnten Argument
> > [mm]\left[u'(x)*\gamma(x)\right]_a^b=0[/mm]
mit speziell [mm] $\gamma:=f+u''$
[/mm]
> hänge ich nun:
> Kann ich wegen u(b)= 0 folgern, dass u'(b) =0 ?
Sicherlich nicht, denn betrachte mal einfach [mm] $f(x)=-x^2+9$. [/mm] Verschwindet die Ableitung an den Nullstellen von $f$? Doch sicher nicht!
> Und ist u'(a) eine Voraussetzung, eig ja nicht, da sie in
> Teil b) nach dem "folgt" steht ??
Nein, in Teil b) wird vorausgesetzt:
$u$ ist das Minimum von $E$ über $X$, also gilt die Integralgleichheit von Teil a). Neben $u [mm] \in [/mm] X$ wird dann zudem noch $u [mm] \in C^2(a,b)$ [/mm] angenommen.
Hier sollte dann sicherlich noch stehen, dass man zeigen sollte:
Dieses $u$ erfüllt dann $u'(a)=u'(b)=0$
(denn, wie gesagt, $u(b)=0$ ist für $u [mm] \in [/mm] X$ klar)
Denn wenn man das hätte, so wäre klar, dass
[mm] $\left[u'(x)*\gamma(x)\right]_a^b=0$
[/mm]
wäre.
Wie man nun aber $u'(a)=0$ und $u'(b)=0$ (mit, wie gesagt: $u$ Minimum von $E$ über $X$, $u [mm] \in C^2(a,b)$) [/mm] zeigt, weiß ich nicht. Dabei wird aber sicherlich die Eigenschaft:
"$u$ ist das Minimum von E über X, d.h. $ E(u) [mm] \le [/mm] E(v) $ für alle $v [mm] \in [/mm] X$"
benutzt werden müssen (und natürlich die Definition von $E$; vielleicht kann man da ja wieder irgendwo partiell integrieren?!) unter Beachtung, dass hier zusätzlich $u''$ existiert und stetig ist nach Voraussetzung.
P.S.:
Mir fällt übrigens gerade auf, dass gar keine Angabe gemacht wurde, was eigentlich die Funktion $f$, die ja anscheinend stets als fest betrachtet wird, für eine Eigenschaft hat. Gilt $f [mm] \in [/mm] C(a,b)$? Oder sonstwas für $f$?
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:43 Di 05.02.2008 | | Autor: | Zorba |
Es steht absolut nichts über f in der Aufgabe. Hab sie wortwörtlich abgetippt!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:46 Di 05.02.2008 | | Autor: | Marcel |
> Es steht absolut nichts über f in der Aufgabe. Hab sie
> wortwörtlich abgetippt!
Ja, ich glaube Dir das. Aber je nach $f$ macht das ganze keinen Sinn, daher sollte man den Aufgabensteller mal darauf hinweisen. Sinnvoll wäre es z.B., $f [mm] \in C((a,b);\IR)$ [/mm] anzunehmen. Ich meine, je nach $f$ existieren manche Integrale gar nicht...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:47 Di 05.02.2008 | | Autor: | Zorba |
Aber solange man kein f' braucht, müsste es doch gehen.
Da wir in der Voraussetzung ja E(u)=... haben, und damit annehmen dürfen, dass f zumindest stetig ist...oder?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:11 Di 05.02.2008 | | Autor: | Zorba |
| Aufgabe | Sei v= [mm] u+\varepsilon\gamma, \varepsilon \in \IR, \gamma \in [/mm] X
Es gilt E'(u)=0 [mm] \Rightarrow E'(v)|_{\varepsilon=0}=0
[/mm]
und es gilt: E(v)= E(u [mm] +\varepsilon\gamma)= [/mm] 1/2 [mm] \integral_{a}^{b}{(u' +\varepsilon\gamma')² dx}-\integral_{a}^{b}{f(x)(u(x)+\varepsilon\gamma(x)) dx}
[/mm]
= 1/2 [mm] \integral_{a}^{b}{u'(x)² +2\varepsilon\gamma'(x)u'(x) +\varepsilon²\gamma'(x)²dx}-\integral_{a}^{b}{f(x)u(x) + f(x)\varepsilon\gamma(x) dx}
[/mm]
Damit folgt: [mm] 0=E'(v)|_{\varepsilon}=\bruch{d}{d\varepsilon} E(v)|_{\varepsilon} [/mm] = 1/2 [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{d}{d\varepsilon} (u'(x)² +2\varepsilon\gamma'(x)u'(x) +\varepsilon²\gamma'(x)²)dx}-\integral_{a}^{b}{\bruch{d}{d\varepsilon} (f(x)u(x) + f(x)\varepsilon\gamma(x)) dx} |_{\varepsilon}
[/mm]
= 1/2 [mm] \integral_{a}^{b}{ 2\gamma'(x)u'(x) + 2\varepsilon\gamma'(x)²)dx}-\integral_{a}^{b}{f(x)\gamma(x) dx} |_{\varepsilon}
[/mm]
[mm] =\integral_{a}^{b}{\gamma'(x)u'(x)dx}-\integral_{a}^{b}{f(x)\gamma(x) dx} [/mm] |
Dies ist mein Lösungsweg zur a). Ist das korrekt?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Mi 06.02.2008 | | Autor: | Zorba |
Ich darf ja annehmen, dass [mm] \gamma(b)=0 [/mm] da [mm] \gamma \in [/mm] X.
Und wenn ich die Aufgabe so interpretiere, dass u'(a)=0 vorausgesetzt wird, dann folgt [mm] \left[u'(x)\cdot{}\gamma(x)\right]_a^b=0 [/mm]
Aber kann ich danach mit der von dir vorgeschlagenen Substitution arbeiten ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 Mi 06.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich darf ja annehmen, dass [mm]\gamma(b)=0[/mm] da [mm]\gamma \in[/mm] X.
nein, wir hatten ja [mm] $\gamma:=f+u''$ [/mm] gesetzt. Daraus folgt noch lange nicht, dass [mm] $\gamma \in [/mm] X$.
> Und wenn ich die Aufgabe so interpretiere, dass u'(a)=0
> vorausgesetzt wird, dann folgt
> [mm]\left[u'(x)\cdot{}\gamma(x)\right]_a^b=0[/mm]
>
> Aber kann ich danach mit der von dir vorgeschlagenen
> Substitution arbeiten ?
Wie gesagt, Du solltest bei Teil b) zunächst beweisen:
$u'(a)=u'(b)=0$
(Leider hab' ich keine Ahnung, wie man das beweist.)
Und der Rest folgt dann wie oben schonmal geschrieben.
Wenn Du auch keine Idee hast, wie man $u'(a)=u'(b)=0$ dort zeigen kann, dann schreib' das einfach so auf den Zettel, und schreib' ruhig auch die Überlegungen von oben drauf, und schreib, dass Du damit $f=-u''$ folgern könntest, wenn Du $u'(a)=u'(b)=0$ beweisen könntest. Damit zeigst Du dann ja, dass Du die Aufgabe probiert hast und auch wenigstens teilweise lösen konntest
Ist jedenfalls besser, als nichts abzugeben. Vll. fällt Dir ja noch was dazu ein...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 Mi 06.02.2008 | | Autor: | Zorba |
> > Ich darf ja annehmen, dass [mm]\gamma(b)=0[/mm] da [mm]\gamma \in[/mm] X.
>
> nein, wir hatten ja [mm]\gamma:=f+u''[/mm] gesetzt. Daraus folgt
> noch lange nicht, dass [mm]\gamma \in X[/mm].
>
Darf ich nicht aus Aufgabenteil a) übernehmen, dass [mm] \gamma \in [/mm] X ?
Und [mm] \gamma:=f+u'' [/mm] will ich dann hinterher verwenden?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:03 Mi 06.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Darf ich nicht aus Aufgabenteil a) übernehmen, dass [mm]\gamma \in X[/mm]?
in Aufgabenteil a) steht nun aber wirklich an KEINER Stelle, dass [mm] $\gamma \in [/mm] X$, dort steht nur:
Zitat:
" a) Ist u das Minimum von E über X, d.h. E(u) <= E(v) für alle v $ [mm] \in [/mm] $ X
so folgt für alle $ [mm] \gamma(x) [/mm] $ :
$ [mm] \integral_{a}^{b}{u'(x)\gamma'(x)dx}=\integral_{a}^{b}{f(x)\gamma(x)dx} [/mm] $ "
Zitat Ende (https://matheraum.de/read?i=363540)
> Und [mm]\gamma:=f+u''[/mm] will ich dann hinterher verwenden?
Natürlich gilt die in Teil a) bewiesene Gleichheit, wenn sie denn für alle [mm] $\gamma$ [/mm] gilt (wobei das Wort "alle" irgendwie eigentlich "alle [mm] $\gamma \in [/mm] Z$ mit irgendeiner Menge $Z [mm] \supset [/mm] X$, die nicht angegeben wurde, meinen sollte) dann insbesondere für alle [mm] $\gamma \in [/mm] X$.
Wenn Du nun sagst, dass die Gleichheit ja für alle [mm] $\gamma \in [/mm] X$ gilt und dann [mm] $\gamma:=f+u''$ [/mm] setzt und dann behauptest, dass dieses [mm] $\gamma \in [/mm] X$, dann musst Du das an dieser Stelle natürlich beweisen.
D.h. Du müßtest auf anderem Wege zeigen, dass [mm] $\gamma(b)=(f+u'')(b)=0$ [/mm] und dass [mm] $(f+u'')=\gamma \in C^1(a,b)$. [/mm] Aber wir wissen ja an dieser Stelle "nur", dass $u''$ stetig, $u'''$ muss noch nicht mal existieren (d.h. $u''$ muss noch nicht mal diff'bar sein), ebensowenig wissen wir, dass $f [mm] \in C^1(a,b)$, [/mm] also ist an dieser Stelle noch nicht mal klar, dass $f+u''$ überhaupt [mm] $\in C^1(a,b)$ [/mm] ist. Das wir am Ende des Beweises herausbekommen werden, dass wegen [mm] $(f+u'')(x)\equiv [/mm] 0$ sicherlich [mm] $\gamma=f+u'' \in [/mm] X$ der Fall sein wird, ist zwar schön, aber wir können ja an dieser Stelle nicht das Ergebnis, was wir dort zu beweisen haben, voraussetzen.
Also:
$(f+u'') [mm] \in [/mm] X$ ist an dieser Stelle des Beweises absolut unklar. Versuche halt einfach - wie schon bereits gesagt - $u'(a)=u'(b)=0$ zu beweisen, denn das kannst Du dann im Beweis benutzen, um schlussendlich $f+u''=0$ zu beweisen.
(Also: Wenn man $f+u''=0$ bewiesen hat, dann ist natürlich klar, dass $f+u'' [mm] \in [/mm] X$, aber solange man das noch nicht bewiesen hat, kann man unter keinen Umständen einfach annehmen, dass $f+u'' [mm] \in [/mm] X$; das ist eine Folgerung, die sich erst (in trivialer Weise) aus dem Ergebnis der Aufgabe ergibt; jedenfalls ist das innerhalb des obigen Beweises unklar!)
Edit:
$(f+u'') [mm] \in [/mm] X$ ist doch sogar am Ende des Beweises nicht klar, weil man dazu z.B. sowas wie $f,u'' [mm] \in [/mm] C[a,b]$ benutzen müßte (jedenfalls müßte $(f+u'') [mm] \in [/mm] C[a,b]$ sein), aber es ist nur $u'' [mm] \in [/mm] C(a,b)$ nach Voraussetzung
siehe auch https://matheraum.de/read?i=364421
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:48 Mi 06.02.2008 | | Autor: | Zorba |
> Also:
> [mm](f+u'') \in X[/mm] ist an dieser Stelle des Beweises absolut
> unklar. Versuche halt einfach - wie schon bereits gesagt -
> [mm]u'(a)=u'(b)=0[/mm] zu beweisen, denn das kannst Du dann im
> Beweis benutzen, um schlussendlich [mm]f+u''=0[/mm] zu beweisen.
>
Aber bleibt dann nicht immer noch das Problem übrig, dass wir nichts über dieses spezielle [mm] \gamma [/mm] wissen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:27 Mi 06.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Zorba,
>
> > Also:
> > [mm](f+u'') \in X[/mm] ist an dieser Stelle des Beweises absolut
> > unklar. Versuche halt einfach - wie schon bereits gesagt -
> > [mm]u'(a)=u'(b)=0[/mm] zu beweisen, denn das kannst Du dann im
> > Beweis benutzen, um schlussendlich [mm]f+u''=0[/mm] zu beweisen.
> >
>
> Aber bleibt dann nicht immer noch das Problem übrig, dass
> wir nichts über dieses spezielle [mm]\gamma[/mm] wissen?
im Prinzip haben wir bei [mm] $\gamma:=f+u''$ [/mm] ein kleines Problem, weil in der Aufgabenstellung nichts über $f$ angegeben wird.
Aber:
In Teil a) wurde bewiesen:
$ [mm] \integral_{a}^{b}{f(x)\gamma(x)dx}=\integral_{a}^{b}{u'(x)\gamma\mbox{ '}(x)dx} [/mm] $
und daraus folgte, wenn neben $u [mm] \in [/mm] X$ auch $u [mm] \in C^2(a,b)$ [/mm] ist:
$ [mm] \integral_{a}^{b}{f(x)\gamma(x)dx}=\integral_{a}^{b}{u'(x)\gamma\mbox{ }'(x)dx}=\left[u'(x)\cdot{}\gamma(x)\right]_a^b-\integral_{a}^b u''(x)\cdot{}\gamma(x)dx [/mm] $
für alle [mm] $\gamma$. [/mm] Wenn wir nun speziell [mm] $\gamma=f+u''$ [/mm] setzen und $u'(a)=u'(b)=0$ wüßten, so würde das
(++) [mm] $\integral_{a}^{b}{(f+u'')^2(x)dx}=0$
[/mm]
implizieren.
Da hast Du natürlich Recht, dass uns das i.a. nicht viel helfen würde, aber ich denke schon, dass man hier davon ausgehen kann, dass $f$ stetig auf $(a,b)$ vorausgesetzt werden sollte.
Also was man weiß:
Wenn $f$ stetig auf $(a,b)$, so wäre [mm] $\gamma=f+u''$ [/mm] stetig auf $(a,b)$ als Summe auf $(a,b)$ stetiger Funktionen, somit wäre auch [mm] $(f+u'')^2=(f+u'')*(f+u'')$ [/mm] stetig auf $(a,b)$ als Produkt auf $(a,b)$ stetiger Funktionen, und wenn man dann $u'(a)=u'(b)=0$ hätte, so würde (++) folgen und wegen der Stetigkeit von [mm] $(f+u'')^2 \ge [/mm] 0$ (d.h. [mm] $(f+u'')(x)\ge [/mm] 0$ für alle $x [mm] \in [/mm] (a,b)$) würde das $f+u''=0$ bzw. $f(x)=-u''(x)$ für alle $x [mm] \in [/mm] (a,b)$ implizieren.
Aber egal, was man auch für $f$ voraussetzt, es ändert nichts an dem Fakt, dass man dann nicht mal erkennen kann, dass dann mit [mm] $\gamma:=f+u''$ [/mm] dann [mm] $\gamma \in [/mm] X$ sein soll, denn selbst wenn $f [mm] \in C^1(a,b)$ [/mm] wäre, so würde uns das nur helfen, wenn $u'' [mm] \in C^1(a,b)$ [/mm] wäre, aber es ist nur $u'' [mm] \in [/mm] C(a,b)$ (da [mm] $u\in C^2(a,b)$ [/mm] nach Voraussetzung).
Glaube mir einfach mal, dass wohl $u'(a)=u'(b)=0$ bewiesen werden sollte. Jedenfalls würde uns das mit den obigen Überlegungen dann zeigen, dass $f=-u''$ gilt.
Du kannst aber gerne auch den Aufgabensteller/Übungsleiter drauf ansprechen mit z.B. den Fragen:
- Unklar: Was darf man für $f$ voraussetzen?
- Unklar: Alle [mm] $\gamma$? [/mm] Welche Eigenschaften haben diese [mm] $\gamma$?
[/mm]
- Unklar: $u(b)=0$ soll bewiesen werden. Das ist aber wegen $u [mm] \in [/mm] X$ nach Definition von $X$ klar. Sollte dort vielleicht eher $u'(b)=0$ gezeigt werden?
Und dann kannst Du ja gerne mal die Rechnung oben darlegen, und fragen, ob Du damit richtig liegst, dass man zuerst $u'(a)=u'(b)=0$ zeigen sollte und die Behauptung dann mit [mm] $\gamma:=f+u''$ [/mm] folgt.
Und dann kannst Du ja gerne sagen, dass Dir unklar ist, wie man $u'(a)=u'(b)=0$ beweist und nach einem Tipp dafür bitten
Übrigens:
Ich sehe gerade, dass das man mit obiger Rechnung (und Annahme $f [mm] \in [/mm] C(a,b)$) eigentlich nur $f(x)=-u''(x)$ für alle $x [mm] \in [/mm] (a,b)$ erhält.
Damit ist dann zwar im Ergebnis [mm] $0=\gamma=f+u'' \in [/mm] C(a,b)$ klar, weil man dann [mm] $\gamma(x)=0$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] (a,b)$ am Ende bewiesen hat.
Aber [mm] $\gamma(b)=0$ [/mm] ist unklar, also es ist doch in der Tat sogar, wenn man den Beweis fertig hat, noch nicht mal klar, dass [mm] $\gamma \in [/mm] X$
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:57 Do 07.02.2008 | | Autor: | Zorba |
Vielen vielen Dank für deine ausserordentlich umfangreiche Mühe! Deine Ausführungen haben mich sehr viel weiter gebracht, vor allem im Verständnis solcher Aufgaben! Danke, dass es solch hilfsbereite Menschen gibt!
Gruß
Zorba
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