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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:28 Mo 25.09.2006 | | Autor: | stak44 |
| Aufgabe | Zeige Gleichheit:
[mm] $\integral_{0}^{\infty}{ \bruch{\sin^{2}x}{x^{2}} dx}=\integral_{0}^{\infty}{ \bruch{\sin x}{x} dx}$
[/mm]
Hinweis: $2 [mm] \sin^{2} [/mm] x = [mm] 1-\cos(2x)$ [/mm] |
Ich hab mir überlegt, dass ich 2 [mm] \integral_{0}^{\infty}{ \bruch{sin x}{x} dx}= \integral_{0}^{\infty}{ \bruch{2 sin^{2}x}{x^{2}} dx}= \integral_{0}^{\infty}{ \bruch{1-cos(2x)}{x^{2}} dx}= \integral_{0}^{\infty}{ \bruch{dx}{x^{2}}}- \integral_{0}^{\infty}{ \bruch{cos(2x)}{x^{2}} dx}
[/mm]
Aber wie komm ich von da an weiter?
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Schon die erste Gleichheit in deiner Rechnung verstehe ich nicht. Setzt du da nicht voraus, was erst noch gezeigt werden muß? Und wo kommt der Faktor 2 her? Und später darfst du dann auch die Integrale nicht einfach auseinanderziehen, denn
[mm]\int_0^{\infty}~\frac{1}{x^2}~\mathrm{d}x[/mm]
divergiert an der unteren Grenze. Ich würde folgendermaßen rechnen:
Im ersten Schritt wird [mm]x[/mm] durch [mm]2x[/mm] substituiert. Danach wird die Formel des Sinus für das doppelte Argument verwendet und schließlich partiell integriert. Beachte dazu, daß [mm]F(x) = \sin^2{x}[/mm] als Ableitung gerade [mm]f(x) = 2 \sin{x} \cos{x}[/mm] hat.
[mm]\int_0^{\infty}~\frac{\sin{x}}{x}~\mathrm{d}x \ = \ \int_0^{\infty}~\frac{\sin{(2x)}}{2x} \cdot 2~\mathrm{d}x \ = \ \int_0^{\infty}~\frac{2 \sin{x} \cos{x}}{x}~\mathrm{d}x[/mm]
[mm]= \ \left. \frac{\sin^2{x}}{x} \, \right|_0^{\infty} \ + \ \int_0^{\infty}~\frac{\sin^2{x}}{x^2}~\mathrm{d}x \ = \ \int_0^{\infty}~\frac{\sin^2{x}}{x^2}~\mathrm{d}x[/mm]
Der letzte Schritt ist noch zu begründen:
Bekanntermaßen gilt [mm]\lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x} = 1[/mm] . Somit folgt:
[mm]\frac{\sin^2{x}}{x} = \frac{\sin{x}}{x} \cdot \sin{x} \to 0 \ \ \mbox{für} \ \ x \to 0[/mm]
Desweiteren ist [mm]\sin^2{x}[/mm] durch 1 nach oben beschränkt. Daher gilt:
[mm]\frac{\sin^2{x}}{x} \to 0 \ \ \mbox{für} \ \ x \to \infty[/mm]
Somit ist die gesamte Umformung gerechtfertigt. Konvergiert auch nur eines der Integrale [mm]\int_0^{\infty}~\frac{\sin{x}}{x}~\mathrm{d}x[/mm] oder [mm]\int_0^{\infty}~\frac{\sin^2{x}}{x^2}~\mathrm{d}x[/mm] , so konvergiert auch das andere und es besteht die angegebene Gleichheit.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:54 Di 26.09.2006 | | Autor: | stak44 |
Danke für die schnelle Antwort.
Ich hab aber noch eine Frage zu der Substitution:
Wenn ich x substituiere durch 2y dann rechne ich doch
2y = x [mm] \gdw [/mm] y = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] x
[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = y' = [mm] \bruch{1}{2} \gdw [/mm] dx = 2 dy.
Soweit hab ich das verstanden. Aber warum darf man y jetzt einfach wieder in x nennen?
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Vielleicht hätte ich, um keine Verwirrung zu stiften, es so wie du machen, also bei der Substitution eine neue Variable einführen sollen. Bei dir ist das [mm]y[/mm]. Aber letztlich ist es egal, wie die Integrationsvariable heißt. In der Tat mußt du es dir so vorstellen, daß man nach getaner Arbeit das [mm]y[/mm] wieder in [mm]x[/mm] umbenennt.
[mm]\int_0^{\infty}~\frac{\sin{x}}{x}~\mathrm{d}x \ = \ \int_0^{\infty}~\frac{\sin{(2y)}}{2y} \cdot 2~\mathrm{d}y \ = \ \int_0^{\infty}~\frac{\sin{(2x)}}{2x} \cdot 2~\mathrm{d}x[/mm]
Ich habe das nur getan, damit die Variable wie gewohnt [mm]x[/mm] heißt. Letztlich ist das überflüssig. Man könnte die Variable nach der Substitution auch mit dem Namen [mm]y[/mm] durch die Rechnung ziehen.
[mm]\int_a^b~f(x)~\mathrm{d}x \ = \ \int_a^b~f(t)~\mathrm{d}t \ = \ \int_a^b~f(\tau)~\mathrm{d}\tau \ = \ \int_a^b~f(\xi)~\mathrm{d}\xi[/mm]
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