Gleiche Entf. zweier Punkte < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:11 Mo 02.10.2006 | | Autor: | Andraide |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie denjenigen Punkt A auf g: [mm] \vec x = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} 2\\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] welcher von P(5|1|0) und Q(6|3|7) die gleiche Entfernung hat. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Moin, vielen Dank, falls ihr mir helft, ich werde wahrscheinlich 'mal wieder ein Brett vorm Kopf haben.
Zum Thema: Die Aufgabe erwies sich durch das Gleichsetzen von |[mm]\vec ap[/mm]| und |[mm]\vec aq[/mm]| lösbar, also:
|[mm]\vec ap[/mm]| = |[mm]\vec aq[/mm]|
[mm] \wurzel{(5-x_1)^2 + (1-x_2)^2 + (-x_3)^2} [/mm] = [mm] \wurzel{ (6-x_1)^2 + (3 - x_2)^2 + (2-x_3)^2} [/mm]
mit jeweils der Voraussetzung eines bestimmten t's kann man folgendes für die x'e einsetzen:
[mm] x_1 = 2 + 2t [/mm]
[mm] x_2 = 1 + t [/mm]
[mm] x_3 = 3 + 2t [/mm]
Man erhält einen ellenlangen Term, den man mit Hilfe von binomischen Formeln lösen kann.
Meine faule Ader und meine große Fehlerquote beim Lösen von binomischen Formeln flehen mich jedoch an, hier andere Rechenschritte anzuwenden. Gibt es für diese Form von Aufgabe auch noch einen anderen Lösungsansatz?
Danke im Voraus!
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zweidimensional:
Alle Punkte, die von zwei gegebenen Punkten P,Q gleich weit entfernt sind, liegen auf der Symmetrieachse der beiden Punkte (Mittelsenkrechte der Strecke PQ).
dreidimensional:
Alle Punkte, die von zwei gegebenen Punkten P,Q gleich weit entfernt sind, liegen auf der Symmetrieebene der beiden Punkte (das ist die Ebene, die die Strecke PQ in der Mitte senkrecht schneidet).
Stelle also zunächst die Gleichung dieser Symmetrieebene auf und schneide diese Ebene mit der gegebenen Geraden.
Nachtrag:
Ich habe deinen Ansatz im einzelnen nicht nachgerechnet. Von der Idee her ist das aber richtig. Da auf beiden Seiten die Wurzeln stehen, kann man die auch gleich weglassen. Wenn du jetzt alle Summen ausquadrierst (binomische Formel), müßten sich links und rechts die quadratischen Glieder gegenseitig wegheben, so daß lediglich lineare Glieder verbleiben. Damit hast du aber die Gleichung einer Ebene. Das ist die gesuchte Symmetrieebene. Natürlich kann man deren Gleichung auch mehr geometrisch gedacht herleiten: Mittelpunkt der Strecke PQ berechnen, der Vektor von P nach Q ist Normalenvektor der Symmetrieebene.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:09 Mo 02.10.2006 | | Autor: | Andraide |
Vielen Dank, das hat mir sehr geholfen! Diese Art von Ebenendenken wird mir sicherlich noch bei anderen Aufgaben von Pass kommen, unheimlich nett so klar zu vermitteln.
P.s.: Das mit dem Lösen meines Ansatzes war mir klar, aber trotzdem danke nochmal, fürs Ego stärken und vielleicht anderen helfen 
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