Givens-Matrix < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:49 Di 11.08.2009 | | Autor: | tynia |
| Aufgabe | Bestimme die Eigenwerte, Eigenvektoren und die Determinante einer Givens-Matrix
[Dateianhang nicht öffentlich]
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Hallo. Kann mir jemand bei der Aufgabe weiterhelfen? Bin über jeden Tipp dankbar.
LG
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:43 Di 11.08.2009 | | Autor: | barsch |
Hallo,
ein paar Ideen:
Bei der Givens-Matrix handelt es sich um eine Orthogonalmatrix. Es ist [mm] \Omega_{ij}^T*\Omega_{ij}=I.
[/mm]
Was weißt du über die Determinante/Eigenwerte einer orthogonalen Matrix (Stichwort: orthogonale Gruppe!)?
Durch geschickte Entwicklung nach LaPlace lässt sich sowohl die Determinante als auch das charakteristische Polynom berechnen. Versuche es doch zuerst einmal mit konkreten Werten für n. Wenn du dann eine Idee hast, welchen Wert die Determinante hat bzw. wie sich das charakteristische Polynom zusammensetzt, würde ich versuchen, diese Erkenntnis mittels vollständiger Induktion zu beweisen.
Gruß barsch
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:51 Di 11.08.2009 | | Autor: | tynia |
Ich habe von Numerik so gar keine Ahnung. Kannst du mir nicht helfen den Anfand zu machen und ich versuche es dann alleine zum Ende zubringen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:03 Di 11.08.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
betrachte die Givensmatrizen
[mm] \Omega_{12}=\pmat{ cos(\phi) & -sin(\phi) & 0 & 0 \\sin(\phi) & cos(\phi) & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1 }\in\IR^{4x4}
[/mm]
und
[mm] \Omega_{23}=\pmat{1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & cos(\phi) & -sin(\phi) & 0 \\0 & sin(\phi) & cos(\phi) & 0 \\0 & 0 & 0 & 1 }\in\IR^{4x4}
[/mm]
Berechne doch mal für diese beiden Beispiele exemplarisch die Determinante bzw. Eigenwerte. Was stellst du fest? Natürlich kannst du (vorerst) von diesen beiden Ergebnissen noch keine allgemein gültige Aussage abhängig machen; aber es hilft dir, erst mal die Vorgehensweise zu verstehen und führt vielleicht zu einem ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]") -Effekt.
Die Numerik benötigst du hier eigentlich gar nicht. Determinante, Eigenwerte und Eigenvektoren, sowie Eigenschaften orthogonaler Matrizen sind (meistens) Themen der Linearen Algebra.
Gruß barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:16 Di 11.08.2009 | | Autor: | tynia |
ok. Ich mache das jetzt mal und poste meine ergebnisse
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:01 Di 11.08.2009 | | Autor: | tynia |
Also ich habe das jetzt für die zweite Matrix gemacht und stoße schon auf das erste Problem. Ich schreibe mal meine Rechnung hin:
[mm] \Omega_{23}=\pmat{1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & cos(\phi) & -sin(\phi) & 0 \\0 & sin(\phi) & cos(\phi) & 0 \\0 & 0 & 0 & 1 }\in\IR^{4x4}
[/mm]
det (A)=1 * [mm] \begin{vmatrix}cos(\phi) & -sin(\phi) & 0 \\sin(\phi) & cos(\phi) & 0\\0 & 0 & 1\end{vmatrix}= cos^{2}(\phi)+sin^{2}(\phi)=1
[/mm]
Also ist det(A)=1
Jetzt zu den Eigenwerten: [mm] (\lambda [/mm] E - A)= [mm] \pmat{\lambda-1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda-cos(\phi) & -sin(\phi) & 0 \\0 & sin(\phi) & \lambda-cos(\phi) & 0 \\0 & 0 & 0 & \lambda-1 }=(\lambda-1) [/mm] * [mm] \begin{vmatrix}\lambda-cos(\phi) & -sin(\phi) & 0 \\sin(\phi) & \lambda-cos(\phi) & 0\\0 & 0 & \lambda-1\end{vmatrix}=(\lambda-1)((\lambda-cos(\phi))^{2}+sin^{2}(\phi))=0
[/mm]
Daraus folgt: 1. [mm] \lambda-1=0, [/mm] d.h. [mm] \lambda=1
[/mm]
2. [mm] (\lambda-cos(\phi))^{2}+sin^{2}(\phi)=0
[/mm]
[mm] \lambda^{2}-2 \lambda cos(\phi) [/mm] + [mm] cos(\phi))^{2}+sin^{2}(\phi) [/mm] = 0
[mm] \lambda^{2}-2 \lambda cos(\phi) [/mm] + 1= 0
[mm] \Rightarrow \lambda [/mm] = [mm] cos(\phi) \pm \wurzel{cos(\phi))^{2}-1}
[/mm]
Jetzt kommt auch schon das Problem :
[mm] cos(\phi)^{2}+sin^{2}(\phi) [/mm] ist ja 1. Also müsste doch [mm] cos(\phi))^{2}-1=-sin^{2}(\phi) [/mm] sein. Dann habe ich aber doch unter der Wurzel [mm] -sin^{2}(\phi) [/mm] stehen, und das kann ich doch nur komplex berechnen. Oder habe ich was anderes falsch gemacht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:27 Di 11.08.2009 | | Autor: | tynia |
Ok. Ich habe gerade gesehen, dass ich mich verrechnet habe. Ich mache das jetzt nochmal. Sorry
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:31 Di 11.08.2009 | | Autor: | qsxqsx |
...ich hab ja nich viel ahnung davon, aber du subtrahierst ja die Matrix A, sollten dann die vorzeichen bei den beiden sinus sich nicht umkehren??
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 Di 11.08.2009 | | Autor: | tynia |
Ich habe es jetzt nochmal gemacht, diesmal mit der richtigen Formel, komme trotzdem an einer Stelle nicht weiter.
Für [mm] \Omega_{12} [/mm] erhalte ich für die Determinante det( [mm] \Omega_{12})=cos^{2}(\phi)+sin^{2}(\phi)=1
[/mm]
Für die Eigenwerte erhalte ich einmal [mm] (1-\lambda)^{2}=0 [/mm] , daraus folgt [mm] \lambda [/mm] = 1 (2fache NS)
Dann erhalte ich noch einen weiteren EW aus [mm] cos^{2}(\phi)+sin^{2}(\phi)-\lambda cos(\phi)- \lambda sin(\phi)=0, [/mm] nämlich : [mm] \lambda [/mm] = [mm] \bruch{1}{cos(\phi)+sin(\phi)}
[/mm]
So, und jetzt habe ich versucht dasselbe für [mm] \Omega_{23} [/mm] zu machen.
Für einen EW habe ich [mm] (1-\lambda)^{2}=0 [/mm] , daraus folgt [mm] \lambda [/mm] = 1 (2fache NS).
Aber bei den weiteren geht das wieder nicht, denn:
[mm] (cos(\phi)-\lambda)^{2} [/mm] + [mm] sin^{2}(\phi)=0 \gdw cos^{2}(\phi)-2 \lambda cos(\phi) +\lambda^{2} [/mm] + [mm] sin^{2}(\phi)=0 \gdw \lambda^{2}- [/mm] 2 [mm] \lambda cos(\phi)+1=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda= cos(\phi) \pm \wurzel{cos^{2}(\phi)-1} [/mm] und das kann ich ja nur komplex lösen, weil was negatives unter der Wurzel steht.
Ich verstehe einfach nicht, was ich falsch mache. Vielleicht sieht einer von euch was.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:35 Di 11.08.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
es ist egal, ob du [mm] det(A-\lambda*E) [/mm] oder [mm] det(\lambda*E-A) [/mm] berechnest. Die Determinante hast du richtig berechnet (=1) und die Eigenwerte wurden in einer anderen Antwort berechnet. Auf was ich eigentlich hinauswollte und worauf ich dich bringen wollte, war der folgende Gedanke:
Allg. haben wir die Darstellung aus deinem ersten Post:
Egal, wie du i und j wählst und auch unabhängig von n, erhälst du immer die Determinante 1 bzw die erwähnten Eigenwerte. Warum ist das so? Nehmen wir noch einmal ein Beispiel:
[mm] \Omega_{36}=\pmat{ 1 & 0&0&0&0&0&0&0 \\ 0 & 1&0&0&0&0&0&0 \\ 0 & 0&cos(\phi)&0&0&-sin(\phi)&0&0 \\ 0 & 0&0&1&0&0&0&0 \\ 0 & 0&0&0&1&0&0&0 \\ 0 & 0&cos(\phi)&0&0&-sin(\phi)&0&0 \\ 0 & 0&0&0&0&0&1&0 \\ 0 & 0&0&0&0&0&0&1 }
[/mm]
Berechnest du die Determinante, entwickelst du zuerst nach der ersten Spalte, dann nach der zweiten Spalte:
[mm] det\pmat{ 1 & 0&0&0&0&0&0&0 \\ 0 & 1&0&0&0&0&0&0 \\ 0 & 0&cos(\phi)&0&0&-sin(\phi)&0&0 \\ 0 & 0&0&1&0&0&0&0 \\ 0 & 0&0&0&1&0&0&0 \\ 0 & 0&cos(\phi)&0&0&-sin(\phi)&0&0 \\ 0 & 0&0&0&0&0&1&0 \\ 0 & 0&0&0&0&0&0&1 }
[/mm]
[mm] =1*det\pmat{ 1&0&0&0&0&0&0 \\ 0&cos(\phi)&0&0&-sin(\phi)&0&0 \\ 0&0&1&0&0&0&0 \\ 0&0&0&1&0&0&0 \\ 0&cos(\phi)&0&0&-sin(\phi)&0&0 \\ 0&0&0&0&0&1&0 \\0&0&0&0&0&0&1 }
[/mm]
[mm] =1*1*det\green{\pmat{ cos(\phi)&0&0&-sin(\phi)&0&0 \\ 0&1&0&0&0&0 \\ 0&0&1&0&0&0 \\ cos(\phi)&0&0&-sin(\phi)&0&0 \\ 0&0&0&0&1&0 \\0&0&0&0&0&1 }}
[/mm]
Die "neue", grüne Matrix entwickelst du weiter nach der 2. und dann nach der dritten Spalte:
[mm] =1*1*\green{1}*det\green{\pmat{ cos(\phi)&0&-sin(\phi)&0&0 \\ 0&1&0&0&0 \\ cos(\phi)&0&-sin(\phi)&0&0 \\ 0&0&0&1&0 \\0&0&0&0&1 }}
[/mm]
[mm] =1*1*\green{1}*\green{1}*det\red{\pmat{ cos(\phi)&-sin(\phi)&0&0 \\ cos(\phi)&-sin(\phi)&0&0 \\ 0&0&1&0 \\0&0&0&1 }}
[/mm]
Die "neue", rote Matrix entwickelst du nach der 4. und dann nach der 5. Splate:
[mm] =1*1*\green{1}*\green{1}*\red{1}*det\red{\pmat{ cos(\phi)&-sin(\phi)&0 \\ cos(\phi)&-sin(\phi)&0 \\0&0&1 }}
[/mm]
[mm] =1*1*\green{1}*\green{1}*\red{1}*\red{1}*det\red{\pmat{ cos(\phi)&-sin(\phi) \\ cos(\phi)&-sin(\phi) }}
[/mm]
[mm] =det\pmat{ cos(\phi)&-sin(\phi) \\ cos(\phi)&-sin(\phi) }
[/mm]
Und auf diese Form kannst du nun die Determinante aller Givensmatrizen bringen, und somit erhälst du immer
[mm] =cos(\phi)^2+sin(\phi)^2=1 [/mm] als Determinante. Diese Erkenntnis wollte ich dir eigentlich mit den Beispielen auf meinem vorherigen Post näherbringen.
Und genauso kannst du [mm] det(\Omega_{ij}-\lambda*E) [/mm] bzw. [mm] det(\lambda*E-\Omega_{ij}) [/mm] nach LaPlace entwickeln und erhälst dann
[mm] det(\lambda*E-\Omega_{ij})=(\lambda-1)^{n-2}\cdot{}((\lambda-cos(\phi))^2+sin(\phi)^2) [/mm] als charakteristisches Polynom.
Zumindest ist mir das aufgefallen, als ich deine Frage zuerst gelesen habe. Und da müsste man doch ansetzen können.
Gruß barsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:12 Di 11.08.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Also ich habe das jetzt für die zweite Matrix gemacht und
> stoße schon auf das erste Problem. Ich schreibe mal meine
> Rechnung hin:
>
> [mm]\Omega_{23}=\pmat{1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & cos(\phi) & -sin(\phi) & 0 \\0 & sin(\phi) & cos(\phi) & 0 \\0 & 0 & 0 & 1 }\in\IR^{4x4}[/mm]
>
> det (A)=1 * [mm]\begin{vmatrix}cos(\phi) & -sin(\phi) & 0 \\sin(\phi) & cos(\phi) & 0\\0 & 0 & 1\end{vmatrix}= cos^{2}(\phi)+sin^{2}(\phi)=1[/mm]
>
> Also ist det(A)=1
ja [mm] \checkmark
[/mm]
> Jetzt zu den Eigenwerten: [mm](\lambda[/mm] E - A)= [mm]\pmat{\lambda-1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda-cos(\phi) & -sin(\phi) & 0 \\0 & sin(\phi) & \lambda-cos(\phi) & 0 \\0 & 0 & 0 & \lambda-1 }=(\lambda-1)[/mm]
> * [mm]\begin{vmatrix}\lambda-cos(\phi) & -sin(\phi) & 0 \\sin(\phi) & \lambda-cos(\phi) & 0\\0 & 0 & \lambda-1\end{vmatrix}=(\lambda-1)((\lambda-cos(\phi))^{2}+sin^{2}(\phi))=0[/mm]
Stop. Aufgepasst!
[mm] det\pmat{\lambda-1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda-cos(\phi) & sin(\phi) & 0 \\0 & \red{-}sin(\phi) & \lambda-cos(\phi) & 0 \\0 & 0 & 0 & \lambda-1 }=(\lambda-1) *\begin{vmatrix}\lambda-cos(\phi) & sin(\phi) & 0 \\ \red{-}sin(\phi) & \lambda-cos(\phi) & 0\\0 & 0 & \lambda-1\end{vmatrix}
[/mm]
[mm] =(\lambda-1)*(\lambda-1)*\begin{vmatrix}\lambda-cos(\phi) & sin(\phi) \\ \red{-}sin(\phi) & \lambda-cos(\phi) \end{vmatrix}
[/mm]
[mm] =(\lambda-1)^2*((\lambda-cos(\phi))^2+sin(\phi)^2)=0
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] (\lambda-1)^2=0\gdw{\lambda=1} [/mm] (zweifacher Eigenwert)
oder
[mm] ((\lambda-cos(\phi))^2+sin(\phi)^2)=\lambda^2-2*\lambda*cos(\phi)+\red{cos(\phi)^2+sin(\phi)^2}=\lambda^2-2*\lambda*cos(\phi)+1=0, [/mm] wenn
[mm] \lambda=cos(\phi)\pm{i}\wurzel{1-cos(\phi)^2}=cos(\phi)\pm{i}\wurzel{sin(\phi)^2}
[/mm]
Somit gilt für alle Eigenwerte [mm] \lambda:
[/mm]
[mm] |\lambda|=1, [/mm] eine Eigenschaft der Eigenwerte orthogonaler Matrizen.
Gruß barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 Di 11.08.2009 | | Autor: | tynia |
Wie kommst du jetzt auf | [mm] \lambda| [/mm] = 1 ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:44 Di 11.08.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Wie kommst du jetzt auf | [mm]\lambda|[/mm] = 1 ?
das ist einzig eine Eigenschaft der Eigenwerte einer orthogonalen Matrix.
Für [mm] \lambda=1 [/mm] ist offensichtlich |1|=1.
Dann noch [mm] cos(\phi)\pm{i}\wurzel{sin(\phi)^2}. [/mm] Zum Beispiel für [mm] \lambda=cos(\phi)+{i}\wurzel{sin(\phi)^2} [/mm] (für [mm] cos(\phi)-{i}\wurzel{sin(\phi)^2} [/mm] analog):
[mm] |\lambda|=\wurzel{\lambda*\overline{\lambda}}=\wurzel{(cos(\phi)+{i}\wurzel{sin(\phi)^2})*(cos(\phi)-{i}\wurzel{sin(\phi)^2)}}=...=1
[/mm]
Diese Tatsache soll dich aber nicht stören - ist keinesfalls wichtig für die Lösung dieser Aufgabe, aber eine wissenswerte Eigenschaft. 
Gruß barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 Di 11.08.2009 | | Autor: | tynia |
Aha. ich verstehe. Ich danke dir vielmals. Du hast mir echt weitergeholfen.
DAnke Danke Danke
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:48 Di 11.08.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Aha. ich verstehe. Ich danke dir vielmals. Du hast mir echt
> weitergeholfen.
freut mich.
Gruß barsch
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