Gilt Ungleichung? Ja oder Nein < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:21 Sa 01.12.2007 | | Autor: | Denny22 |
| Aufgabe | Seien [mm] $n\in\IN_0$, $t\in[0,1]$, $x,y\in\IR$. [/mm] Frage: Gilt die Ungleichung
[mm] $|t\cdot x+(1-t)\cdot y|^n\;\leqslant\;|x|^n+|y|^n$ [/mm] |
Hallo an alle,
Ich muss etwas abschätzen und wollte wissen, ob diese Ungleichung gilt.
Eigentlich sind [mm] $x,y\in\IR^d$ [/mm] und $|x|$ die euklidische Norm, aber das sollte keine Rolle spielen. Wenn die obige Aussage gilt, dann gilt diese hier auch.
Ein richtiges Statemant zu der obigen Frage würde mir sehr weiterhelfen.
Danke an alle Forenteammitglieder
P.S. Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum und auf keiner anderen Seite gestellt
|
|
| |
|
> Seien [mm]n\in\IN_0[/mm], [mm]t\in[0,1][/mm], [mm]x,y\in\IR[/mm]. Frage: Gilt die
> Ungleichung
>
> [mm]|t\cdot x+(1-t)\cdot y|^n\;\leqslant\;|x|^n+|y|^n[/mm]
> Hallo an
> alle,
>
> Ich muss etwas abschätzen und wollte wissen, ob diese
> Ungleichung gilt.
> Eigentlich sind [mm]x,y\in\IR^d[/mm] und [mm]|x|[/mm] die euklidische Norm,
> aber das sollte keine Rolle spielen. Wenn die obige Aussage
> gilt, dann gilt diese hier auch.
>
> Ein richtiges Statemant zu der obigen Frage würde mir sehr
> weiterhelfen.
Läuft die Beantwortung dieser Frage nicht einfach darauf hinaus, ob für alle [mm] $n\in \IN_0$ [/mm] die Funktion [mm] $f:\;x\mapsto |x|^n$ [/mm] konvex ist? - Falls sie konvex ist, so gilt ja für alle [mm] $t\in[0;1]$ [/mm] zuerst einmal
[mm]f\big(t\cdot x+(1-t)\cdot y\big)\leq t\cdot f(x)+(1-t)\cdot f(y)[/mm]
bzw.
[mm]\left|t\cdot x+(1-t)\cdot y\right|^n\;\leqslant\;t\cdot|x|^n+(1-t)\cdot|y|^n[/mm]
Wegen [mm] $0\leq t,1-t\leq [/mm] 1$ ist zudem [mm] $t\cdot|x|^n\leq |x|^n$ [/mm] und [mm] $(1-t)\cdot|y|^n\leq |y|^n$, [/mm] woraus die rechte Seite der zu beweisenden Ungleichung sogleich folgen würde.
Bei diff'baren Funktionen $f$ folgt (schwache) Konvexität, falls durchgehend [mm] $f''(x)\geq [/mm] 0$ gilt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Sa 01.12.2007 | | Autor: | Denny22 |
Hallo nochmal,
die Frage ist irgendwie noch nicht beantwortet. Vergessen wir die Konvexität mal für den Augenblick, dann sagt mir die Ungleichung doch aus, dass der Abstand eines beliebigen Punktes auf der Verbindungsstrecke von $x$ und $y$ zum Ursprung kleiner ist als der Abstand vom Punkt $x$ zum Ursprung plus den Abstand vom Punkt $y$ zum Ursprung (für $n=1$). Das klingt logisch.
Die Frage ist nun: Gilt die Ungleichung nun für beliebiges $n$.
Wäre schön, wenn mir jemand nochmals auf die Sprünge helfen könnte.
Danke
|
|
|
| |
|
> Hallo nochmal,
>
> die Frage ist irgendwie noch nicht beantwortet. Vergessen
> wir die Konvexität mal für den Augenblick
Willst Du damit sagen, dass die Beweisskizze via Konvexität von [mm] $f:x\mapsto |x|^n$ [/mm] nicht zielführend ist? Und wenn ja, weshalb? - Oder ist dies einfach ein Fall von "wer nicht hören will, muss selber einen Weg suchen"?
>, dann sagt mir
> die Ungleichung doch aus, dass der Abstand eines beliebigen
> Punktes auf der Verbindungsstrecke von [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm] zum Ursprung
> kleiner ist als der Abstand vom Punkt [mm]x[/mm] zum Ursprung plus
> den Abstand vom Punkt [mm]y[/mm] zum Ursprung (für [mm]n=1[/mm]). Das klingt
> logisch.
Ok, in diesem Falle: versuche die Ungleichung zu beweisen (aber natürlich nicht über Konvexität von [mm] $x\mapsto |x|^n$, [/mm] versteht sich).
>
> Die Frage ist nun: Gilt die Ungleichung nun für beliebiges
> [mm]n[/mm].
Ja.
> Wäre schön, wenn mir jemand nochmals auf die Sprünge helfen
> könnte.
Siehe letzte Antwort. (Setze Frage aber "unbeantwortet", weil Du diese Antwort kaum wirst brauchen wollen.)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:19 Sa 01.12.2007 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
ein bisschen genervt? Klingt zumindest so. Also ich habe Deine Erklärung sehr wohl verstanden. Und Deiner letzten Antowort entnehme ich, dass die Funktion $f$ mit [mm] $x\longrightarrow [/mm] |x|$ konvex ist. Wie zeige ich das denn genau.
Wäre Dir sehr dankbar, wenn Du mir nochmals helfen könntest
Vielen Dank und Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:26 Sa 01.12.2007 | | Autor: | Somebody |
> Hallo,
>
> ein bisschen genervt?
Ja, da ist was dran: denn wenn ich mir die Zeit nehme, einen Frage zu lesen und, schlimmer noch, sie durchzudenken und (halbwegs) zu beantworten, dann nervt es schon etwas, wenn die Reakion darauf das Gefühl vermittelt, dass meine Antwort nicht ernsthaft analysiert wurde.
> Klingt zumindest so. Also ich habe
> Deine Erklärung sehr wohl verstanden. Und Deiner letzten
> Antowort entnehme ich, dass die Funktion [mm]f[/mm] mit
> [mm]x\longrightarrow |x|[/mm] konvex ist. Wie zeige ich das denn
> genau.
Zunächst: Du bist offenbar, wie eine frühere Mittelung von Dir offenbart, ein Freund anschaulicher Vorstellung. Also: eine Funktion ist (schwach) konvex genau dann, wenn jeder Punkt der Verbindungsstrecke zweier Punkte des Graphen dieser Funktion oberhalb oder auf dem Graphen liegen. Dass bei diff'baren Funktionen das Vorzeichen der zweiten Ableitung $f''$ etwas mit der Krümmung des Graphen zu tun hat, hast Du sicher schon gehört.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:16 Sa 01.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
sie gilt für beliebiges n Beweis siehe somebody.
Gruss leduart
|
|
|
|
