Gibt es "normale" Zahlen ? < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Neulich las ich in der Frankfurter Allgemeinen Zeitung folgenden Satz:
Bis heute ist unbekannt, ob e und Pi normal sind.
Normale Zahlen sind jene, in deren unendlich vielen Nachkommastellen alle Ziffernblöcke einer gewissen Länge gleich oft vorkommen.
|
Mich wundert das nicht, dass das "unbekannt" ist bzw. ich bezweifle, dass jeder - aber wirklich JEDER - der unendlich vielen Ziffernblöcke haargenau gleich oft vorkommt und das mit Null Toleranz.
Andererseits: Man hört ja NIEMALS auf zu zählen - wegen der Unendlichkeit.
Es gibt ja auch unendlich viele Wurzeln von unendlich vielen Zahlen. Würde denn eine einzige dieser Wurzeln eine "normale Zahl" ergeben?
Meines Erachtens sollte man das Phänomen zunächst einmal im Endlichen untersuchen.
Also zum Beispiel: Man berechne von allen natürlichen Zahlen zwischen 2 und 100.000.000.000.000 die 2te bis 100.000.000te Wurzel auf 100.000.000.000.000 Stellen nach dem Komma.
Kommt es bei einer dieser (immerhin rund 100.000.000.000.000 hoch 100.000.000) Wurzeln vor, dass in den Nachkommastellen alle Ziffernblöcke mit einer Länge von 1 bis 10 gleich oft vorkommen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:57 Sa 13.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Neulich las ich in der Frankfurter Allgemeinen Zeitung
> folgenden Satz:
>
> Bis heute ist unbekannt, ob e und Pi normal sind.
> Normale Zahlen sind jene, in deren unendlich vielen
> Nachkommastellen alle Ziffernblöcke einer gewissen Länge
> gleich oft vorkommen.
Nun, was heißt gleich oft? Diese Aussage muss man erst mathemtaisch genau präzisieren, wenn man sich nähere Gedanken machen will. Und - gleich der erster Treffer bei google gibt uns den ![[]](/images/popup.gif) üblichen Wiki-Eintrag. Schon gelesen?
> Mich wundert das nicht, dass das "unbekannt" ist bzw. ich
> bezweifle, dass jeder - aber wirklich JEDER - der unendlich
> vielen Ziffernblöcke haargenau gleich oft vorkommt und das
> mit Null Toleranz.
Tja, man muss dazu erstmal die Aussage genau fassen. Wenn man das tut, gibt es mehr normale Zahlen als anormale. Genauso wie es mehr transzendente als algebraische gibt. Und es dauerte auch lange, bis die ersten Tranzendenzbeweise kamen.
Man kann gleichviel, für etwas, das ins unendliche geht, nur mittels Grenzprozessen betrachten, dass also die Limiten übereinstimmen.
> Es gibt ja auch unendlich viele Wurzeln von unendlich
> vielen Zahlen.
Keine Ahnung, was du uns damit sagen willst?!
> Würde denn eine einzige dieser Wurzeln eine
> "normale Zahl" ergeben?
???
> Meines Erachtens sollte man das Phänomen zunächst einmal
> im Endlichen untersuchen.
> Also zum Beispiel: Man berechne von allen natürlichen
> Zahlen zwischen 2 und 100.000.000.000.000 die 2te bis
> 100.000.000te Wurzel auf 100.000.000.000.000 Stellen nach
> dem Komma.
Ich zitiere den Artikel: "Von den Mathematikern David H. Bailey und Richard E. Crandall wurde im Jahr 2001 die Vermutung aufgestellt, dass jede irrationale algebraische Zahl normal ist.".
Dein Vorgehen gibt eine Versuchsbasis, eine Heuristik. Egal, was dein Ergebnis ist, es beweist gar nichts. Daher muss man auch höllisch aufpassen. Die Endlichkeit kann trügerisch sein.
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:23 Sa 13.02.2010 | | Autor: | rabilein1 |
In dem Wiki-Artikel steht unter anderem:
"Es ist sehr schwer, die Frage nach der Normalität einer Zahl zu beantworten, die nicht eigens zu diesem Zweck konstruiert wurde. Es ist beispielsweise nicht bekannt, ob , die Kreiszahl π, die Eulersche Konstante e oder der natürliche Logarithmus der Zahl 2 normal sind oder nicht."
Genau das meinte ich: Wenn man eine Zahl absichtlich so konstruiert, dass sie normal ist, dann ist sie mit Sicherheit normal.
Zum Beispiel: 0.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 ...,
Und so meinte ich das mit den Wurzeln. Da es "unendlich" viele Wurzeln gibt, wie will man dann ausschließen, dass auf mindestens eine dieser Wurzeln das Phänomen zutrifft?
Generell kann man es ja nicht ausschließen - nach dem Motto: So etwas ist völlig unmöglich. Aber man wird wohl bis zum jüngsten Tag nach so einer konkreten Wurzel suchen müssen.
Oder was ist das Quadrat (die dritte, vierte etc. Potenz) von 0.12345678910111231415617 ... ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:42 Sa 13.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Genau das meinte ich: Wenn man eine Zahl absichtlich so
> konstruiert, dass sie normal ist, dann ist sie mit
> Sicherheit normal.
Ist ja schonmal ein schritt, so eine Zahl zu konstruieren. Geht bei den transzendenten zahlen nicht so einfach, wenn man da nicht eins, zwei Sätze kennt (dann wird's einfach ;)).
> Und so meinte ich das mit den Wurzeln. Da es "unendlich"
> viele Wurzeln gibt, wie will man dann ausschließen, dass
> auf mindestens eine dieser Wurzeln das Phänomen zutrifft?
Die Vermutung sit eher, dass die Behauptung auf viele Wurzeln zu trifft. Wie zeigt man das? Keine Ahnung, soweit ist die Mathematik anscheinend noch nicht. Aber es wird wohl, da die elementaren Methoden ausgereizt sind (zumidnest nehme ich das an), vielleicht mal einen Beweis geben, der neue Methoden und Mittel (aus andren Bereichen?) benutzt, vielleicht nur als Korrolar. Passiert ja häufig, zB mit Fermats Theorem oder Poincare Vermutung. Auch viele Sachen in der Zahlentheorie wurden mit Funktionentheorie angegriffen.
> Generell kann man es ja nicht ausschließen - nach dem
> Motto: So etwas ist völlig unmöglich.
Und was, wenn jemand beweist, dass keine algebraische Zahl normal sein kann? Wieso schließt du das kategorisch aus?!
> Aber man wird wohl
> bis zum jüngsten Tag nach so einer konkreten Wurzel suchen
> müssen.
Die normal ist? Wer weiß ... wieso glaubst du das denn?
> Oder was ist das Quadrat (die dritte, vierte etc. Potenz)
> von 0.12345678910111231415617 ... ?
Keine Ahnung. Vielleicht ist es ja die Nullstelle eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten?!
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:50 Sa 13.02.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Oder was ist das Quadrat (die dritte, vierte etc. Potenz)
> > von 0.12345678910111231415617 ... ?
>
> Keine Ahnung. Vielleicht ist es ja die Nullstelle eines
> Polynoms mit rationalen Koeffizienten?!
Das ganz bestimmt nicht: ist $x$ transzendent ueber [mm] $\IQ$ [/mm] und [mm]f \in \IQ[t][/mm] ein nicht-konstantes Polynom, so ist $f(x)$ ebenfalls transzendent ueber [mm] $\IQ$. [/mm] (Andernfalls gaeb es ein nicht-konstantes Polynom [mm]g \in \IQ[t][/mm] mit $g(f(x)) = 0$, womit [mm]h := g \circ f \in \IQ[t] \setminus \IQ[/mm] ein Polynom waere mit $h(x) = 0$.)
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:54 Sa 13.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Das ganz bestimmt nicht: ist [mm]x[/mm] transzendent ueber [mm]\IQ[/mm] und [mm]f \in \IQ[t][/mm] ein nicht-konstantes Polynom, so ist [mm]f(x)[/mm] ebenfalls transzendent ueber [mm]\IQ[/mm]. (Andernfalls gaeb es ein nicht-konstantes Polynom [mm]g \in \IQ[t][/mm] mit [mm]g(f(x)) = 0[/mm], womit [mm]h := g \circ f \in \IQ[t] \setminus \IQ[/mm] ein Polynom waere mit [mm]h(x) = 0[/mm].)
Was du sagst, ist klar. Was mir nicht klar war (aber schnell nachgeschaut habe), war, dass diese Zahl eben tranzendent ist. Dann hat sich ja das erledigt :p
SEcki
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Zwar sind Pi, e, [mm] \wurzel{3}, [/mm] lg 2 etc. auf unendlich viele Stellen festgelegt, aber maximal die ersten drei Stellen kann man mit dem "bloßen Auge" sehen. Was danach ziffernmäßig folgt, ist mehr oder weniger reiner Zufall.
Hinsichtlich Normalität verhalten sich Pi, e, [mm] \wurzel{3}, [/mm] lg 2 etc. also nicht anders, als würde man würfeln (mit einem Würfel von Null bis Neun).
Wie groß ist denn die Wahrscheinlichkeit, bei 10*n-maligem Würfeln jede Zahl von Null bis Neun genau gleich oft zu werfen (also n Mal)?
Kennt jemand die Formel dazu? |
Allein für n=1 ist das [mm] \bruch{10!}{10^{10}} [/mm] = 1:2755
Bei steigendem n nimmt die Wahrscheinlichkeit rapide ab. Und n soll ja unendlich groß werden, also ist es höchst unwahrscheinlich, dass Pi, e, [mm] \wurzel{3}, [/mm] lg 2 etc. normale Zahlen sind.
Bevor man eine Stecknadel im Heuhaufen sucht, sollte man sich jedoch darüber im Klaren sein, wie groß der Haufen und wie groß die Nadel ist. Die Suche nach Normalität in Pi, e, [mm] \wurzel{3}, [/mm] lg 2 etc. erscheint mir wie die Suche nach einem Atom der Eizelle, aus der einst Euler enstanden ist. Da kein Atom verloren geht, muss es jetzt ja irgendwo sein (100%); dass man es jemals findet, ist so gut wie ausgeschlossen (0%).
Natürlich ist das alles kein "Beweis", denn solange die Wahrscheinlichkeit irgendwo zwischen 0% und 100% liegt, lässt sich ohnehin nichts eindeutig beweisen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:49 So 14.02.2010 | | Autor: | felixf |
Moin rabilein!
> Zwar sind Pi, e, [mm]\wurzel{3},[/mm] lg 2 etc. auf unendlich viele
> Stellen festgelegt, aber maximal die ersten drei Stellen
> kann man mit dem "bloßen Auge" sehen. Was danach
> ziffernmäßig folgt, ist mehr oder weniger reiner Zufall.
Es sieht vielleicht nach Zufall aus. Aber deswegen darf man nicht einfach so tun, als waeren sie zufaellig.
> Hinsichtlich Normalität verhalten sich Pi, e, [mm]\wurzel{3},[/mm]
> lg 2 etc. also nicht anders, als würde man würfeln (mit
> einem Würfel von Null bis Neun).
Ja. Und Borel hat gezeigt, dass eine zufaellige Zahl mit Wahrscheinlichkeit 1 normal ist.
> Wie groß ist denn die Wahrscheinlichkeit, bei 10*n-maligem
> Würfeln jede Zahl von Null bis Neun genau gleich oft zu
> werfen (also n Mal)?
> Kennt jemand die Formel dazu?
Ich wuerde sagen, dies ist [mm] $\frac{ \frac{(10 n)!}{(n!)^{10}} }{10^{10 n}}$, [/mm] da man die Folge $(0, 0, [mm] \dots, [/mm] 0, 1, [mm] \dots, [/mm] 1, 2, [mm] \dots, [/mm] 2, [mm] \dots, [/mm] 9, [mm] \dots, [/mm] 9)$ (wobei jede Zahl $n$ mal vorkommt) auf [mm] $\frac{(10 n)!}{(n!)^{10}}$ [/mm] verschiedene Arten umordnen kann. (Die [mm] $(n!)^{10}$ [/mm] kommt daher, dass auf $0, [mm] \dots, [/mm] 0$ eine Permutationsgruppe [mm] $S_n$ [/mm] operiert, ebenso auf $1, [mm] \dots, [/mm] 1$, ..., und schliesslich auf $9, [mm] \dots, [/mm] 9$.)
> Allein für n=1 ist das [mm]\bruch{10!}{10^{10}}[/mm] = 1:2755
Eher [mm] $\approx [/mm] 1:2755$.
> Bei steigendem n nimmt die Wahrscheinlichkeit rapide ab.
Die Wahrscheinlichkeit kann man schreiben als $f(n) / [mm] n^6$, [/mm] wobei $f(n)$ langsam gegen unendlich geht ($f(10) = 0.02357074589$, $f(100) = 0.8028005752$, $f(1000) = 25.57598093$, $f(10000) = 809.3842761$).
> Und n soll ja unendlich groß werden, also ist es höchst
> unwahrscheinlich, dass Pi, e, [mm]\wurzel{3},[/mm] lg 2 etc. normale
> Zahlen sind.
Wieso sollte das der Fall sein?
Was hat diese Wahrscheinlichkeit damit zu tun, ob die Zahlen normal sind oder nicht? Die Definition von normaler Zahl sagt etwas voellig anderes aus als diese Wahrscheinlichkeit.
Oder willst du mit einer anderen Definition von normaler Zahl arbeiten? Dann waere es gut, wenn du uns diese verraten wuerdest.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:45 So 14.02.2010 | | Autor: | rabilein1 |
Ich vermute mal, dass ich eine andere Definition von "normal" zugrunde gelegt habe.
Aber davon mal abgesehen. Folgendes irritiert mich stark und zwar der Satz: "Borel hat gezeigt, dass eine zufällige Zahl mit Wahrscheinlichkeit 1 normal ist"
Dieser Satz widerspricht nämlich völlig meiner These.
Denn: Wie kann so etwas für JEDE zufällige Zahl gelten, während man gleichzeitig unsicher ist, ob es auch einmal für Pi und e gilt??
Das hieße im Umkehrschluss ja wiederum, dass die Ziffernfolge von Pi und e einem ganz bestimmten Schema folgt (wie es z.B. bei rationalen Zahlen der Fall ist = Periode).
Wenn das wiederum der Fall ist, dann müsste man dieses Schema ja aufschlüsseln können = also nicht Pi und e mit den üblichen Methoden berechnen, sondern anhand der vorherigen Ziffern auf die folgenden Ziffern schließen. Falls das geht, dann wären die Ziffern fürwahr voneinander abhängig - und somit nicht mehr zufällig.
|
|
|
| |
|
> Ich vermute mal, dass ich eine andere Definition von
> "normal" zugrunde gelegt habe.
>
> Aber davon mal abgesehen. Folgendes irritiert mich stark
> und zwar der Satz: "Borel hat gezeigt, dass eine zufällige
> Zahl mit Wahrscheinlichkeit 1 normal ist"
>
> Dieser Satz widerspricht nämlich völlig meiner These.
> Denn: Wie kann so etwas für JEDE zufällige Zahl gelten,
> während man gleichzeitig unsicher ist, ob es auch einmal
> für Pi und e gilt??
>
> Das hieße im Umkehrschluss ja wiederum, dass die
> Ziffernfolge von Pi und e einem ganz bestimmten Schema
> folgt (wie es z.B. bei rationalen Zahlen der Fall ist =
> Periode).
>
> Wenn das wiederum der Fall ist, dann müsste man dieses
> Schema ja aufschlüsseln können = also nicht Pi und e mit
> den üblichen Methoden berechnen, sondern anhand der
> vorherigen Ziffern auf die folgenden Ziffern schließen.
> Falls das geht, dann wären die Ziffern fürwahr
> voneinander abhängig - und somit nicht mehr zufällig.
Hallo rabilein,
die Zahlen π und e sind natürlich insofern keine "zufälligen"
Zahlen, als ja ganz bestimmte Algorithmen zur Berechnung
jeder beliebigen Stelle in ihrer (z.B.) dezimalen Darstellung
bestehen. Trotzdem ist die Frage nach ihrer Normalität eine
mögliche (möglicherweise aber nicht besonders weltbewegende)
Frage. Wer sich anschicken will, eine positive oder negative
Antwort zu finden, muss sich allerdings in sehr komplexe
Gefilde der Zahlentheorie begeben.
Ein Beweis, dass eine dieser Zahlen bezüglich des Dezimal-
systems nicht normal sei, wäre allerdings eine Sensation,
die einem mathematischen "Wunder" gleichkäme.
Ein mögliches Verständnisproblem bei diesem Thema ist
vielleicht noch der Unterschied zwischen den Begriffen
"unmögliches Ereignis" und "Ereignis der Wahrscheinlichkeit Null"
im Falle einer überabzählbaren Ergebnismenge. Ist z.B. X eine
auf dem Intervall [0..1] gleichverteilte Zufallsvariable, so haben
etwa die Ereignisse [mm] A="X=\frac{1}{2}" [/mm] oder [mm] Q="X\in\IQ" [/mm] die
Wahrscheinlichkeiten P(A)=P(Q)=0, obwohl weder A noch Q im
strikten Sinne unmöglich sind.
Im vorliegenden Fall könnte man das Borelsche Ergebnis auch
so formulieren: Das Ereignis E="X ist nicht normal" hat die
Wahrscheinlichkeit P(E)=0 (im Sinne des Lebesgue-Maßes).
Dennoch gibt es nicht normale Zahlen, zum Beispiel
alle rationalen. Es ist also [mm] Q\subset{E} [/mm] .
LG Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:29 So 14.02.2010 | | Autor: | rabilein1 |
@ Al-Chwarizmi
Irgendwie erspüre ich schon, wie du das meinst, dass eine Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis zwar NULL sein kann, das Ereignis aber dennoch theoretisch möglich ist.
Also mal angenommen, in einer Urne sind 2 rote Kugeln. Mein Freund Karl darf so oft wie er will (quasi unendlich oft) aus der Urne eine Kugel ziehen, sie ansehen und sie dann wieder zurück in die Urne legen.
Er zieht also immer wieder eine rote Kugel, und er fühlt auch, dass da 2 Kugeln in der Urne sind. Er sieht aber niemals beide Kugeln gleichzeitig.
Und nun soll er anhand der Ziehungsergebnisse "beweisen", dass sich keine weiße Kugel in der Urne befindet. Ist so etwas möglich?
Oder bleibt da ein Restrisiko, dass er immer dieselbe Kugel gezogen hat, und sich außerdem noch eine weiße Kugel in der Urne befindet?
Würde er nur ein einziges Mal eine z.B. blaue Kugel ziehen, dann wäre der "Beweis", dass sich keine weiße Kugel in der Urne befindet, sicherlich einfacher zu führen (wegen 100%iger Sicherheit, dass die zwei Kugeln rot und blau sind, und weiß somit 100%ig ausgeschlossen ist).
|
|
|
| |
|
> @ Al-Chwarizmi
> Irgendwie erspüre ich schon, wie du das meinst, dass eine
> Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis zwar NULL sein kann,
> das Ereignis aber dennoch theoretisch möglich ist.
>
>
> Also mal angenommen, in einer Urne sind 2 rote Kugeln. Mein
> Freund Karl darf so oft wie er will (quasi unendlich oft)
> aus der Urne eine Kugel ziehen, sie ansehen und sie dann
> wieder zurück in die Urne legen.
> Er zieht also immer wieder eine rote Kugel, und er fühlt
> auch, dass da 2 Kugeln in der Urne sind. Er sieht aber
> niemals beide Kugeln gleichzeitig.
>
> Und nun soll er anhand der Ziehungsergebnisse "beweisen",
> dass sich keine weiße Kugel in der Urne befindet. Ist so
> etwas möglich?
> Oder bleibt da ein Restrisiko, dass er immer dieselbe Kugel
> gezogen hat, und sich außerdem noch eine weiße Kugel in
> der Urne befindet?
Ja. Bei "ungezinkten" Versuchsbedingungen ist es nur möglich,
die Wahrscheinlichkeit, dass da noch eine weiße Kugel in der
Urne ist (aber zufälligerweise in vielen Zügen nie gezogen wird)
unterhalb jede noch so kleine positive Schranke [mm] \varepsilon [/mm] zu
drücken. Mit endlich vielen Zügen, welche immer eine rote
Kugel zeigten, kann man aber die Alternative (dass noch eine
weiße Kugel in der Urne ist) nie ausschließen. Ich hoffe aber,
dass du dir für Karl beizeiten bessere Beschäftigungen ausdenken
wirst, wenn er dein Freund bleiben soll 
> Würde er nur ein einziges Mal eine z.B. blaue Kugel
> ziehen, dann wäre der "Beweis", dass sich keine weiße
> Kugel in der Urne befindet, sicherlich einfacher zu führen
> (wegen 100%iger Sicherheit, dass die zwei Kugeln rot und
> blau sind, und weiß somit 100%ig ausgeschlossen ist).
LG Al
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:42 Mo 15.02.2010 | | Autor: | rabilein1 |
> Oder willst du mit einer anderen Definition von normaler
> Zahl arbeiten? Dann waere es gut, wenn du uns diese
> verraten wuerdest.
Meine Definition war - siehe Eingangsposting:
"Normale Zahlen sind jene, in deren unendlich vielen Nachkommastellen alle Ziffernblöcke einer gewissen Länge gleich oft vorkommen." (Zitat aus der FAZ)
Eines fehlt hier allerdings und darin lag wohl das Missverständnis:
Sollen die Ziffernblöcke absolut gleich oft oder relativ gleich oft vorkommen?
Was ist denn [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] [mm]\frac{ \frac{(10 n)!}{(n!)^{10}} }{10^{10 n}}[/mm]
Wenn da NULL rauskommt (was ich vermute), dann wären Zufallszahlen nicht normal - bezogen auf die "Absolut-Definition".
Mit der Relativ-Definition dagegen wären sie dagegen im Unendlichen normal, denn relativ gesehen werden alle Zufallszahlen gleich oft gezogen, wenn man unendlich oft zieht - das ist einleuchtend.
Warum das im Hinblick auf e und Pi eventuell anders sein kann: Weil hier die Ziffernfolge berechnet wird und somit eventuell nicht zufällig ist.
P.S.
Was ist eigentlich mit sogenannten "Zufallszahlen" aus dem Computer?
Im Gegensatz zu Lottozahlen werden die doch auch berechnet. Also sind solche Computer-Zufallszahlen auch eventuell nicht normal genau so wie e und Pi.
Oder liege ich da falsch?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:16 Mo 15.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Meine Definition war - siehe Eingangsposting:
> "Normale Zahlen sind jene, in deren unendlich vielen
> Nachkommastellen alle Ziffernblöcke einer gewissen Länge
> gleich oft vorkommen." (Zitat aus der FAZ)
Das ist keine Definition, dass ist eine unpräzise Formulierung, die einer mathematischen Präzesierung bedarf. Auch die FAZ redet von den normalen Zahlen, wie sie im Wiki defineirt sind.
> Sollen die Ziffernblöcke absolut gleich oft oder relativ
> gleich oft vorkommen?
Absolut soll heißen, die schiere Anzahl, wobei unendlich erlaubt ist? Alle Blöcke kommen unendlich oft vor? Köntne man so machen. Wäre aber langweilig, weil ich dann zB den Block "13017"ziemlich oft einbauen könnte und damit die relativen Häufigkeiten verbiegen kann. Relative Häufigkeit wäre eher das Mittel der Wahl, da sie beschreibt, dass alle Böcke über lange Sicht gesehn gleich oft vorkommen - im Mittel.
> Was ist denn [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] [mm]\frac{ \frac{(10 n)!}{(n!)^{10}} }{10^{10 n}}[/mm]
0
> Wenn da NULL rauskommt (was ich vermute), dann wären
> Zufallszahlen nicht normal - bezogen auf die
> "Absolut-Definition".
Und was sind jetzt Zufallszahlen für dich? Für mich sind das Zahlen, die ein Zufallsgenerator herausgibt. Das könnte auch gleichverteilte Zufallszahlen in [m]1,\ldots,10[/m] sein. Man braucht ja für RSA und so natürliche, große Primzahlen, die zufällig sind, dh nicht berechenbar nach einem Schema. Und wieso das etwas für diese Zahlen beweist, sehe ich nicht.
> Mit der Relativ-Definition dagegen wären sie dagegen im
> Unendlichen normal, denn relativ gesehen werden alle
> Zufallszahlen gleich oft gezogen, wenn man unendlich oft
> zieht - das ist einleuchtend.
Bitte was? Bist du dir sicher, dass du die Begriffe hier alle so benutzt, wie sie gemeint sind?
> Warum das im Hinblick auf e und Pi eventuell anders sein
> kann: Weil hier die Ziffernfolge berechnet wird und somit
> eventuell nicht zufällig ist.
Auch die Beispiele der normalen Zahlen werden alle berechnet, und nicht gezogen. Sie sind aber normal. Die Konstruktion einer vorher nicht bekannten Zufallszahl ist etwas anderes als die Frage, ob eine Zahl normal ist. Vielleicht brauchst du einen Crashkurs in Stochastik, um die Begrifflichkeiten und die verschiedenen Stochastik-Ansätze auseinander zu halten? Du scheinst dich hier in etwas zu verrennen.
Die [m]9^{9^{9^{9^{9^9}}}}[/m]-te Stelle von [m]\pi[/m] ist determiniert und berchenabr, und nicht zufällig.
> Was ist eigentlich mit sogenannten "Zufallszahlen" aus dem
> Computer?
> Im Gegensatz zu Lottozahlen werden die doch auch berechnet.
> Also sind solche Computer-Zufallszahlen auch eventuell
> nicht normal genau so wie e und Pi.
Schwieriges Thema. Der Computer kann auf externe Resourcen zurückgreifen, wie zB das Hintergrundrauschen messen. Oder aber Entropie durch Tastatur- und Mauseingabe messen. Dann wird damit gerechnet. Und wenn man nicht aufpasst, hat man schnell Sicherheitslücken.
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:49 Mo 15.02.2010 | | Autor: | rabilein1 |
> Und was sind jetzt Zufallszahlen für dich?
> Für mich sind das Zahlen, die ein Zufallsgenerator herausgibt.
Und was soll dann der Unterschied zu Pi und e sein? Die werden doch auch berechnet.
> Der Computer kann auf externe Resourcen zurückgreifen,
> wie zB das Hintergrundrauschen messen.
Aha, weil niemand das Hintergrundrauschen voraussehen kann (ähnlich wie die Lottozahlen vom kommenden Samstag), kann ein Zufallsgenerator Zufallszahlen rausgeben, die "vollkommen zufällig" sind - und damit normal.
Dagegen ist die Ziffernfolge einer Zahl, die nicht auf externe Resourcen zurückgreift - wie z.B. Pi, e, [mm] \wurzel{37} [/mm] etc. nicht mehr "vollkommen zufällig".
Oder anders gesagt:
Würden die Lottozahlen durch einen Computer ermittelt, der nicht auf externe Resourcen zurückgreift, sondern z.B. auf die Nachkommastellen von [mm] \wurzel{37}, [/mm] dann hätten Mathematiker gegenüber Hausfrauen beim Lotto einen entscheidenden Vorteil (weil früher oder später jeder Code geknackt wird, der nicht "völlig zufällig" ist)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:41 Mo 15.02.2010 | | Autor: | rabilein1 |
>
> Die [m]9^{9^{9^{9^{9^9}}}}[/m]-te Stelle von [m]\pi[/m] ist determiniert und berechenbar, und nicht zufällig.
> Der Computer kann auf externe Resourcen zurückgreifen,
> wie zB das Hintergrundrauschen messen. Oder aber Entropie
> aber Entropie durch Tastatur- und Mauseingabe messen. Dann
> wird damit gerechnet.
Hieße das im Umkehrschluss, dass es keine mathematisch bedingten Zufallszahlen gibt, sondern nur physikalisch (höchstens noch biologisch und chemisch) bedingte.
Apropos:
Wie kommen eigentlich die Geheimzahlen (Pin) der Kreditkarten zustande? Wenn die durch einen rein-mathematischen Prozess ermittelt werden, so könnten Diebe, die etwas von Mathematik verstehen, anhand der Kontonummer, Bankleitzahl, Gültigkeitsdatum und Kartennummer die Geheimzahl ermitteln.
Etwas anderes macht der Bank-Computer doch auch nicht.
(Ich kann mich noch erinnern, dass vor rund 20 Jahren mal alle Pin-Nummern geändert werden mussten, weil der Algorithmus zu einfach und von irgendwelchen Oberschlauen zu knacken war)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:13 Mo 15.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Hieße das im Umkehrschluss, dass es keine mathematisch
> bedingten Zufallszahlen gibt, sondern nur physikalisch
> (höchstens noch biologisch und chemisch) bedingte.
Zu erst einmal: was sollen mathematisch bedingte Zufallszahlen sein? Man kann mathematisch den Zufallsprozess modellieren, kein Problem. Die Sache bei einer Zufallszahl ist, dass niemand vorher bestimmen kann, welche es ist, sondern raten muss, und er dabei nicht besser als die Gleichverteilung raten kann. So einen Vorgang kann man mit Stochastik modellieren, als zufälligen Prozess. Ist ja nichts anderes als eine Zufallsvariable, die ausgeführt wurde.
Warum kann der Computer das nicht? Zuersteinmal darf man Mathe nicht mit dem Computer gleichsetzen - die Berechenbarkeit hat ihre engen Grenzen. Und dann stellt man fest, dass Computer vor allem deterministisch arbeiten - und eben kaum etwas nicht deterministisch ist. Um also einen zufälligen Prozess tatsächlich in der Realität umzusetzen, muss Verfahren benutzen, von denen man annimmt (nach den Modellen), dass sie zufällig ablaufen. (Radioaktiver Zerfall wäre auch eine Möglichkeit)
> Apropos:
> Wie kommen eigentlich die Geheimzahlen (Pin) der
> Kreditkarten zustande?
Keine Ahnung. Ich tippe aber trotzdem auf Zufallszahl.
> Wenn die durch einen
> rein-mathematischen Prozess ermittelt werden, so könnten
> Diebe, die etwas von Mathematik verstehen, anhand der
> Kontonummer, Bankleitzahl, Gültigkeitsdatum und
> Kartennummer die Geheimzahl ermitteln.
> Etwas anderes macht der Bank-Computer doch auch nicht.
Aus öffentlich zugänglichen Daten abgeleitete PINs sind sicherlich murks.
> (Ich kann mich noch erinnern, dass vor rund 20 Jahren mal
> alle Pin-Nummern geändert werden mussten, weil der
> Algorithmus zu einfach und von irgendwelchen Oberschlauen
> zu knacken war)
Dabei könnten trotzdem Zufallszahlen benutzt worden sein. Der Algorithmus könnte einfach angreifbar gewesen sein, auch mit Zufallszahlen.
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:57 Mo 15.02.2010 | | Autor: | rabilein1 |
> Was sollen mathematisch bedingte Zufallszahlen sein?
Zufallszahlen, die sich aufgrund einer mathematischen Rechnung ergeben.
Für den Nichtmathematiker sind sie als solche jedoch nicht erkennbar.
Beispiel:
... 53 - 54 - 75 - 94 - 57 - 13 - 82 - 17 - 85 - 25 - 16 - 64 - 27 - 42 - 74 ....
Auf den ersten Blick sehen diese Zahlen völlig "zufällig" aus. Jemand, der das Schema aber einmal erkannt hat, würde auch die folgenden Zahlen rauskriegen. Und zwar, weil die Zahlen nach Zufall aussehen, aber nicht zufällig sind.
> Man kann mathematisch den Zufallsprozess modellieren, kein Problem.
Wie denn? Die obigen Zahlen scheinen auch modelliert zu sein. Dennoch lassen sich die nächsten Zahlen voraussagen.
Sie lauten nämlich ... 66 - 39 - 19 - 32 ...
> Die Sache bei einer Zufallszahl ist,
> dass niemand vorher bestimmen kann,
> welche es ist, sondern raten muss, und er dabei nicht
> besser als die Gleichverteilung raten kann.
Genau so soll es sein !!! - Und da frage ich mich, ob das allein mit der Mathematik geht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:16 Mo 15.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Zufallszahlen, die sich aufgrund einer mathematischen
> Rechnung ergeben.
Mathematische Rechnung ... vielleicht ja so: eine Folge von Zahlen, die sich bei geg. Anfangswerten durch einen deterministischen Algorithmus berechnen lassen.
> Für den Nichtmathematiker sind sie als solche jedoch nicht
> erkennbar.
1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 erkennt auch ein Nichtmathematiker. Ich glaube eher, dass bei so etwas einem statistische Analysen helfen.
> Beispiel:
> ... 53 - 54 - 75 - 94 - 57 - 13 - 82 - 17 - 85 - 25 - 16 -
> 64 - 27 - 42 - 74 ....
Ich erkenne da kein Gesetz. Bin wohl weit entfernt Mathematiker zu sein.
> Auf den ersten Blick sehen diese Zahlen völlig "zufällig"
> aus. Jemand, der das Schema aber einmal erkannt hat, würde
> auch die folgenden Zahlen rauskriegen. Und zwar, weil die
> Zahlen nach Zufall aussehen, aber nicht zufällig sind.
Pseudozufallszahlen eben, benutzt man in Computern auch häufig (und - google erstmal danach, bevor du direkt dazu Rückfragen hast).
> > Man kann mathematisch den Zufallsprozess modellieren, kein
> Problem.
>
> Wie denn?
Nennt sich Stochastik! Insbesondere stochastische Prozesse. Radioaktiver Zerfall und Quantenmechanik sowie die Hintergrundstrahlung sind alle durch mathematische Modelle beschrieben. Die Stochastik kümmert sich hier um die Modellbildung.
> Die obigen Zahlen scheinen auch modelliert zu
> sein. Dennoch lassen sich die nächsten Zahlen
> voraussagen.
Modell != deterministischer Algorithmus.
> Genau so soll es sein !!! - Und da frage ich mich, ob das
> allein mit der Mathematik geht.
Man kann Sachen beweisen und herleiten ohne einen konkreten Zufallsmechanismus zu haben. Braucht man oft nicht, es reichen ja die Eigneschaften des Mechanismus. Für eine Realisierung braucht man eine Quelle von Nicht-Determiniertheit, die muss irgendwo herkommen. Die Mathematik "kann" auch beliebige Zahlen addieren, Computer oder Menschen führen das dann deterministisch aus. Da weder Menschen noch Computer eine Quelle von Zufall sind, braucht man in dem Fall etwas anderes.
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:04 Mi 17.02.2010 | | Autor: | rabilein1 |
> > ... 53 - 54 - 75 - 94 - 57 - 13 - 82 - 17 - 85 - 25 - 16 - 64 - 27 - 42 - 74 - 66
> Ich erkenne da kein Gesetz. Bin wohl weit entfernt, Mathematiker zu sein.
Als Zufallszahlen für stochastische Prozesse würden die obigen Zahlen sicherlich taugen. Es kommt aber auch immer auf den Zweck an, für den man die Zufallszahlen benötigt.
Würde man jedoch z.B. eine Million Euro dafür bieten, wenn jemand die nächsten sechs Zahlen rauskriegt, dann - so bin ich mir sicher - würde bestimmt irgend so ein Obermathematiker die Million abgreifen. (Durch reines Raten wäre das ein Vielfaches schwieriger, als den Lotto-Jackpot zu knacken)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:44 Mi 17.02.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo,
schau mal hier.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:56 Do 18.02.2010 | | Autor: | rabilein1 |
> Hallo,
>
> schau mal
> hier.
>
> LG Felix
Genau das meinte ich: Obwohl die Zahlen auf den ersten Blick "rein zufällig" aussehen, kann man trotzdem die Folgezahlen rauskriegen - sei es durch mühsames Errechnen oder heutzutage durch Recherchieren im Internet.
|
|
|
| |
|
> Hieße das im Umkehrschluss, dass es keine mathematisch
> bedingten Zufallszahlen gibt, sondern nur physikalisch
> (höchstens noch biologisch und chemisch) bedingte.
Solange das mathematische "Rezept", das hinter der
Kreation von z.B. 256-stelligen Zufalls-Binärzahlen
steckt, genügend ausgefuchst und komplex ist und
geheim bleibt, sind die so berechneten Pseudo-Zufalls-
zahlen für den Nutzer ebenso "zufällig" und sicher wie
die durch einen "realen" physikalischen Prozess erzeugten.
Eigenschaften wie z.B. Gleichverteilung werden durch
mathematisch berechnete Pseudozufallszahlen wohl
besser erfüllt als durch die "physikalischen".
> Apropos:
> Wie kommen eigentlich die Geheimzahlen (Pin) der
> Kreditkarten zustande? Wenn die durch einen
> rein-mathematischen Prozess ermittelt werden, so könnten
> Diebe, die etwas von Mathematik verstehen, anhand der
> Kontonummer, Bankleitzahl, Gültigkeitsdatum und
> Kartennummer die Geheimzahl ermitteln.
> Etwas anderes macht der Bank-Computer doch auch nicht.
>
> (Ich kann mich noch erinnern, dass vor rund 20 Jahren mal
> alle Pin-Nummern geändert werden mussten, weil der
> Algorithmus zu einfach und von irgendwelchen Oberschlauen
> zu knacken war)
PIN-Codes aus solchen Daten nach einem festgelegten (und
wahrscheinlich noch ziemlich einfachen) Algorithmus zu be-
rechnen, ist natürlich dümmer als die Polizei erlaubt und zeugt
nur von der mathematischen Inkompetenz der Erfinder eines
solchen Systems.
LG Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:22 Mi 17.02.2010 | | Autor: | rabilein1 |
> Solange das mathematische "Rezept", das hinter der
> Kreation von z.B. 256-stelligen Zufalls-Binärzahlen
> steckt, genügend ausgefuchst und komplex ist und
> geheim bleibt, ....
Aber im Endeffekt stecken da immer Menschen hinter - also könnte durch "menschliches Versagen" jedes noch so ausgefuchste System publik werden.
Anders sieht es bei der Ziehung der Lottozahlen aus. Obwohl die Ausgangsbedingungen scheinbar jedes Mal die selben sind, werden jede Woche andere Zahlen gezogen.
Hier handelt es sich um ein so hochkomplexes physikalisches System, in das sicherlich Größen wie Luftdruck und Raumtemperatur mit hineinspielen. Aber selbst dann, wenn diese Größen bekannt sind, wird auch der genialste Physiker die Zahlen nicht vorausberechnen können.
|
|
|
| |
|
> > Solange das mathematische "Rezept", das hinter der
> > Kreation von z.B. 256-stelligen Zufalls-Binärzahlen
> > steckt, genügend ausgefuchst und komplex ist und
> > geheim bleibt, ....
>
> Aber im Endeffekt stecken da immer Menschen hinter - also
> könnte durch "menschliches Versagen" jedes noch so
> ausgefuchste System publik werden.
>
> Anders sieht es bei der Ziehung der Lottozahlen aus. Obwohl
> die Ausgangsbedingungen scheinbar jedes Mal die selben
> sind, werden jede Woche andere Zahlen gezogen.
>
> Hier handelt es sich um ein so hochkomplexes physikalisches
> System, in das sicherlich Größen wie Luftdruck und
> Raumtemperatur mit hineinspielen. Aber selbst dann, wenn
> diese Größen bekannt sind, wird auch der genialste
> Physiker die Zahlen nicht vorausberechnen können.
Das ist richtig. Insofern sind also die heutigen Lotto-
Ziehungsmaschinen hervorragende Zufallsgeneratoren.
Dass ihre Ergebnisse nicht vorausberechnet werden
können - selbst nicht mit einem Supercomputer - liegt
insbesondere am "chaotischen" Verhalten der Kugeln
in der Acryl-Trommel. Winzigste Abweichungen der
Anfangsbedingungen schaukeln sich im Lauf des
Herumwirbelns der Kugeln dermaßen auf, dass der
gesamte Prozess praktisch unberechenbar bleibt.
Gruß Al
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:09 Do 18.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Aber im Endeffekt stecken da immer Menschen hinter - also
> könnte durch "menschliches Versagen" jedes noch so
> ausgefuchste System publik werden.
Ja, *jedes*, das schließt Lotto mit ein. Wir wissen nicht, da die Stichprobe eh zu klein, ob es nicht einen gewissne Bias im System gibt.
> Anders sieht es bei der Ziehung der Lottozahlen aus. Obwohl
> die Ausgangsbedingungen scheinbar jedes Mal die selben
> sind, werden jede Woche andere Zahlen gezogen.
Das ist der Punkt: wir können eben nicht die Sachen berechnen, ganz unabhängig davon, ob es wirklichen Zufall gibt oder nicht.
> Aber selbst dann, wenn
> diese Größen bekannt sind, wird auch der genialste
> Physiker die Zahlen nicht vorausberechnen können.
Wenn das System hinreichend schlecht ist, kann man das hinreichend genau. So haben Studtenen auch mal profitables Roulette gespielt. Vergleiche mal das mit Quarks-Beitrag.
SEcki
|
|
|
| |
|
> > Aber im Endeffekt stecken da immer Menschen hinter - also
> > könnte durch "menschliches Versagen" jedes noch so
> > ausgefuchste System publik werden.
>
> Ja, *jedes*, das schließt Lotto mit ein. Wir wissen nicht,
> da die Stichprobe eh zu klein, ob es nicht einen gewissne
> Bias im System gibt.
>
> > Anders sieht es bei der Ziehung der Lottozahlen aus. Obwohl
> > die Ausgangsbedingungen scheinbar jedes Mal die selben
> > sind, werden jede Woche andere Zahlen gezogen.
>
> Das ist der Punkt: wir können eben nicht die Sachen
> berechnen, ganz unabhängig davon, ob es wirklichen Zufall
> gibt oder nicht.
>
> > Aber selbst dann, wenn
> > diese Größen bekannt sind, wird auch der genialste
> > Physiker die Zahlen nicht vorausberechnen können.
>
> Wenn das System hinreichend schlecht ist, kann man das
> hinreichend genau. So haben Studenten auch mal profitables
> Roulette gespielt. Vergleiche mal das mit
> Quarks-Beitrag.
>
> SEcki
Hallo SEcki,
In dem angegebenen Quarks-Beitrag liest man:
"... Die Tradition der Rechnerattacken auf das Roulette ist alt. Schon in den späten siebziger Jahren experimentierte eine Gruppe von Physik-Studenten, Computer-Freaks und Bastlern mit versteckten Rechnern. Ihnen gelang das Kunststück und sie plünderten etliche Casinos. Einige von ihnen wurden später als Wissenschaftler erfolgreich: Sie gehören zu den Pionieren eines neuen Forschungszweiges: der Chaostheorie. ..."
Ich habe versucht, dazu Material zu finden und bin auch fündig geworden, aber eher im "negativen Sinn". Über den Autor Edward. O. Thorp des Bestsellers "The Mathematics of Gambling (1984)" , findet man an anderer Stelle (http://edwardothorp.com/) z.B. die Aussage: "Dr. Thorp, with Claude Shannon, also invented the first wearable computer in 1961 to win at roulette."
In "The Mathematics of Gambling " ( Thorp ) liest man zwar über die interessanten Versuche, durch geschickte Beobachtung von Croupiers und Roulettetischen an solchen Casinos, in denen auch noch Wetten angenommen wurden, wenn die Kugel schon rollte (!), positive Gewinnerwartungen zu erreichen. Dabei war die Idee, mittels eines kleinen auf dem Körper versteckten Computers (damals eine technische Meisterleistung), der durch einen mit den Zehen bedienten Schalter im Schuh eines Komplizen die Position der Kugel relativ zum Roulette beim Wurf der Kugel nutzen sollte, um blitzschnell den Sektor des Rades zu berechnen, in dem die Kugel vermutlich landen würde. Diese Methode hatte also herzlich wenig mit Chaostheorie, aber sehr viel mit einem unlauteren technischen Trick zu tun.
Dass mit dieser Methode "etliche Casinos geplündert" worden sein sollen, ist übrigens schlicht und einfach eines der netten Märchen, welche halt eben spannender klingen als die um einiges nüchternere Wirklichkeit. Thorp hatte mit anderen Versuchen, Spiele zu "knacken", zwar gewisse Erfolge, aber nicht im Roulette. Als seine Techniken entlarvt wurden (er verteidigte sich mit der Behauptung, seine "Versuche" stellten lediglich "Experimente der angewandten Mathematik" dar) , hatte er samt seinen Kumpanen bald Hausverbot in verschiedenen Casinos.
In seiner Schrift "The Mathematics of Gambling" kommt er übrigens nach allen Fehlerabschätzungen zum Schluss, dass er es für äußerst unwahrscheinlich halte, dass man unter realistischen Voraussetzungen mit dem von ihm ausgedachten Gerät wirklich einen merklichen Spielvorteil erzielen könnte (und übrigens ist es genau hier, wo auch gewisse chaostheoretische Überlegungen einflossen !).
Thorp verließ denn konsequenterweise auch die Kreise der Möchtegern-Casino-Abzocker und etablierte sich im viel profitableren Geschäft der sogenannten "Quants", welche sich darauf verlegten, z.B. mittels geschickter Transaktionen in Hedge-Fonds Geld zu machen.
LG Al-Chwarizmi
Ich habe jetzt noch diesen Artikel gefunden: Spiegel
Möglicherweise bezog sich der von SEcki genannte Quarks-Beitrag
auf die Story, die hier im Spiegel detaillierter geschildert wird.
Aber auch da finde ich nichts von "reihenweise geplünderten"
Casinos. Die Studenten verließen wohl die Casinos doch jeweils
rechtzeitig, um keinen außerordentlichen Verdacht einer Manipu-
lation zu erwecken.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:28 Do 18.02.2010 | | Autor: | abakus |
Hallo,
noch mal zur Rolle von Zufallszahlen:
Sind nicht alle vom Comuter verwendeten Zufallszahlen (egal, ob Pseudozufallszahl oder abgehörtes Rauschen in den Bäumen) in ihrer Darstellung endlich?
Diese Zahlen sind doch auch nur eine Folge von Nullen und Einsen im Binärsystem, und spätesens wenn der Arbeitsspeicher voll ist, bricht die Darsellung der Zahl ab (und kann von uns nur noch gedanklich durch nachfolgende Nullen ergänzt werden).
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:23 Do 18.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Sind nicht alle vom Comuter verwendeten Zufallszahlen
> (egal, ob Pseudozufallszahl oder abgehörtes Rauschen in
> den Bäumen) in ihrer Darstellung endlich?
Ja, das sind sie. Sie haben die Eigenschaft, dass man sie nicht besser als die Gleichverteilung raten kann. Genau wie bei einem fairen, 6seitgen Würfel. Man darf dies nicht mit normalen Zahlen verwechseln.
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:19 Do 18.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Dass mit dieser Methode "etliche Casinos geplündert"
> worden sein sollen, ist übrigens schlicht und einfach
> eines der netten Märchen, welche halt eben spannender
> klingen als die um einiges nüchternere Wirklichkeit.
Vielleicht war es nicht so dramatisch und die Leute haben rechtzeitig Hausverbot bekommen. Jedenfalls sollte mein Punkt sein: jede Apparatur kann einen systematischen Fehler haben, mit dem man präzisere Vorhersagen als die Gleichverteilung machen kann, und somit sien Glück beeinflussen kann. Und wie es aussieht, hat es wohl etwas geklappt. Ich habe noch dieses Buch gefunden. In wie weit das alles wahr ist, dazu kann ich nichts sagen.
SEcki
|
|
|
| |
|
> > Dass mit dieser Methode "etliche Casinos geplündert"
> > worden sein sollen, ist übrigens schlicht und einfach
> > eines der netten Märchen, welche halt eben spannender
> > klingen als die um einiges nüchternere Wirklichkeit.
>
> Vielleicht war es nicht so dramatisch und die Leute haben
> rechtzeitig Hausverbot bekommen. Jedenfalls sollte mein
> Punkt sein: jede Apparatur kann einen systematischen Fehler
> haben, mit dem man präzisere Vorhersagen als die
> Gleichverteilung machen kann, und somit sien Glück
> beeinflussen kann. Und wie es aussieht, hat es wohl etwas
> geklappt. Ich habe noch
> dieses Buch
> gefunden. In wie weit das alles wahr ist, dazu kann ich
> nichts sagen.
>
> SEcki
Vom statistischen Standpunkt aus betrachtet ist es aller-
dings eine grobe Fahrläßigkeit einer Spielbank, wenn sie
Wetteinsätze auch noch dann zulässt, wenn die Kugel
schon einige Sekunden lang im Roulette unterwegs ist.
Wenn sie also dadurch auch hie und da mal nicht die
üblichen (und statistisch zu erwartenden) Bankgewinne
macht, so hat sie das dieser doch etwas unvorsichtigen
Usanz zuzuschreiben. Dass da mal ein paar findige Köpfe
auf die Idee kamen, diese "Nische" durch mathematische
Analyse mit Gewinn zu nutzen, ist ja eigentlich ein
schönes Zeichen, dass Mathematik auch unkonventionelle
Anwendungsbereiche hat ...
Die Spielbanken haben sehr wahrscheinlich in der Zwischen-
zeit dazugelernt und Apparaturen ähnlich jenen in der
"Terrorismusbekämpfung" an den Flughäfen eingerichtet,
mit welchen sie solche elektronisch gerüsteten Kunden
rechtzeitig vor dem Spielen am Roulette abfangen können.
Möglicherweise wären die besten erhältlichen Datenquellen
für einen Betrüger das hochaufgelöste Videomaterial der
Überwachungskameras, welche die Spieltische und ihre
Umgebung laufend beobachten. Wer weiß, ob es nicht auch
schon entsprechende "Insidergeschäfte" gibt ...
Gruß Al
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:07 Fr 19.02.2010 | | Autor: | rabilein1 |
> Die Spielbanken haben sehr wahrscheinlich in der Zwischenzeit dazugelernt ...
Spielbanken müssen ja dazulernen, da sie das Geschäft auf eigenes Risiko betreiben (Bank gegen Spieler).
Wie sähe es aber beim Lotto aus (Spieler gegen Spieler)??? - Angenommen, bestimmte Zahlen hätten höhere Chancen als andere (z.B. weil einige Kugeln schwerer sind als andere und daher eher in den Schacht fallen). Und nun mal angenommen, das stände in der Zeitung, jeder weiß davon, und keiner tut was dagegen.
Wer hätte dann einen Vorteil / Nachteil?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:53 Mo 15.02.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
Nochmal:
> Was ist denn [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] [mm]\frac{ \frac{(10 n)!}{(n!)^{10}} }{10^{10 n}}[/mm]
>
> Wenn da NULL rauskommt (was ich vermute), dann wären
> Zufallszahlen nicht normal - bezogen auf die
> "Absolut-Definition".
es gibt keinen Zusammenhang zwischen dem Grenzwert und der Aussage, dass Zufallszahlen (nicht) normal sind.
Damit eine Zufallszahl normal (zur Basis $b$) ist, musst du zeigen, dass fuer eine Zufallszahl $x$ gilt:
ist $k$ eine fest gewaehlte Laenge, und [mm] $B_k$ [/mm] eine festgelegte ($b$-adische) Ziffernfolge der Laenge $k$, und ist fuer $n [mm] \in \IN$ [/mm] der Ausdruck $N(x, [mm] B_k, [/mm] n)$ die Anzahl der Vorkommen von [mm] $B_k$ [/mm] in den ersten ($b$-adischen) $n$ Ziffern von $x$, so muss [mm] $\lim_{n\to\infty} \frac{N(x, B_k, n)}{n} [/mm] = [mm] \frac{1}{b^k}$ [/mm] gelten.
Dieser Bruch [mm] $\frac{N(x, B_k, n)}{n}$ [/mm] hat nichts mit der Wahrscheinlichkeit [mm] $\frac{ \frac{(10 n)!}{(n!)^{10}}}{10^{10 n}}$ [/mm] zu tun. (Und wenn doch, so muesste man das erstmal beweisen.)
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:07 So 14.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Zwar sind Pi, e, [mm]\wurzel{3},[/mm] lg 2 etc. auf unendlich viele
> Stellen festgelegt, aber maximal die ersten drei Stellen
> kann man mit dem "bloßen Auge" sehen. Was danach
> ziffernmäßig folgt, ist mehr oder weniger reiner Zufall.
Ich stimme Felix zu - diese Ziffern sind ja wirklich dterminiert. Zufall kommt hier rein durch die Häufigkeitsinterpretation der Stochastik.
> Hinsichtlich Normalität verhalten sich Pi, e, [mm]\wurzel{3},[/mm]
> lg 2 etc. also nicht anders, als würde man würfeln (mit
> einem Würfel von Null bis Neun).
Öhm, also nur wenn sie nromal sind stimmt das auch. Ansosnten nicht.
> Kennt jemand die Formel dazu?
Siehe Felix, das ist eine Multionomialverteilung.
> Bei steigendem n nimmt die Wahrscheinlichkeit rapide ab.
> Und n soll ja unendlich groß werden, also ist es höchst
> unwahrscheinlich, dass Pi, e, [mm]\wurzel{3},[/mm] lg 2 etc. normale
> Zahlen sind.
Unterläufst du vielleicht den typischen Fehler, den man bei dem Gesetz der großen Zahlen macht? Wenn ich eine faire Münze werfe, dann pendelt sich das um den Erwartungswert gemäß diesem Gesetz ein. Die W'keit, dass nach n Würfen aber genau die Hälfte ungerade ist, ist entweder 0 (für n ungerade), oder eben sehr, sehr klein.
> Bevor man eine Stecknadel im Heuhaufen sucht, sollte man
> sich jedoch darüber im Klaren sein, wie groß der Haufen
> und wie groß die Nadel ist. Die Suche nach Normalität in
> Pi, e, [mm]\wurzel{3},[/mm] lg 2 etc. erscheint mir wie die Suche
> nach einem Atom der Eizelle, aus der einst Euler enstanden
> ist.
Man wird es nicht beweisen können, in dem man nur endiche Abschnitte untersucht. Das wird niemals gehen. Ich verstehe deinen Vergleich nicht. Aber die momentan statistischen Auswertungen legen den Verdacht eben nahe.
> Natürlich ist das alles kein "Beweis", denn solange die
> Wahrscheinlichkeit irgendwo zwischen 0% und 100% liegt,
> lässt sich ohnehin nichts eindeutig beweisen.
Wieso den nciht?
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:37 So 14.02.2010 | | Autor: | rabilein1 |
> > Natürlich ist das alles kein "Beweis", denn solange die
> > Wahrscheinlichkeit irgendwo zwischen 0% und 100% liegt,
> > lässt sich ohnehin nichts eindeutig beweisen.
>
> Wieso den nicht?
"Beweis" heißt doch: Es ist immer so (100%)
oder als "Gegenbeweis": Es kann niemals so sein (0%)
Wie will man aber etwas "beweisen", wenn das Ergebnis mal so und mal so ausfallen kann (irgendwas zwischen 0% und 100%)?
P.S.:
Kann man eigentlich - ohne Pi oder e bis auf hundert Milliarden Stellen hinter dem Komma genau berechnet zu haben - mit 100%iger Sicherheit sagen, dass irgendwo die Ziffernfolge
57486648398576595748574993857594769968749674936590032
auftauchen muss ??
Es liegt zwar auf der Hand, dass jede Ziffernfolge irgendwo und irgendwann mal erscheint, aber ist das 100%ig sicher ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:16 So 14.02.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > > Natürlich ist das alles kein "Beweis", denn solange die
> > > Wahrscheinlichkeit irgendwo zwischen 0% und 100% liegt,
> > > lässt sich ohnehin nichts eindeutig beweisen.
> >
> > Wieso den nicht?
>
> "Beweis" heißt doch: Es ist immer so (100%)
> oder als "Gegenbeweis": Es kann niemals so sein (0%)
Diese Begriffe funktionieren nur bei endlichen Wahrscheinlichkeitsraeumen (wo es keine nicht-trivialen Nullmengen gibt). Bei ueberabzaehlbaren Wahrscheinlichkeitsraeumen bekommt man da jedoch ein Problem.
> P.S.:
> Kann man eigentlich - ohne Pi oder e bis auf hundert
> Milliarden Stellen hinter dem Komma genau berechnet zu
> haben - mit 100%iger Sicherheit sagen, dass irgendwo die
> Ziffernfolge
>
> 57486648398576595748574993857594769968749674936590032
>
> auftauchen muss ??
Wenn man bewiesen hat, dass [mm] $\pi$ [/mm] oder $e$ normal sind, dann kommt die Ziffernfolge vor. Ansonsten kann man versuchen zu beweisen, dass diese Ziffernfolge vorkommt (das waer eine schwaechere Aussage, als dass die Zahlen normal waeren). Wenn man es nicht beweisen kann (und auch nicht beweisen kann dass diese Folge nicht auftritt), und ein Vorkommen nicht finden kann, dann kann man nichts darueber aussagen.
> Es liegt zwar auf der Hand, dass jede Ziffernfolge irgendwo
> und irgendwann mal erscheint, aber ist das 100%ig sicher ?
Was verstehst du hier unter "100%ig sicher"?
LG Felix
|
|
|
|
