Gewichteter L_2-Raum < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:02 Di 17.04.2007 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo Leute,
in einer Woche sollen eine Komilitonin und ich einen Seminarvortrag in Funktionalanalysis über Eigenwerte von Differentialoperatoren und orthogonale Funktionensysteme halten.
Der Vortrag ist soweit ausgereift, es fehlt nurnoch ein Beweis.
Gegeben sei eine Gewichtsfunktion [mm] $\rho [/mm] (t) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{1-t^2}}$ [/mm] und der zugehörige [mm] $L_{2, \rho} [/mm] (-1,1)$-Raum, also der Raum aller messbaren Funktionen $x(t)$ mit [mm] $(x,x)_{\rho} [/mm] = [mm] \integral_{-1}^{1}{\bruch{|x(t)|^2}{\wurzel{1-t^2}}dt} [/mm] < [mm] \infty$
[/mm]
Auf einer geeigneten dichten Teilmenge dieses Hilbertraumes definiere den Tschebyscheff-Differentialoperator $(Ax)(t) := [mm] -\wurzel{1-t^2}(\wurzel{1-t^2}x'(t))'$, [/mm] so dass er symmetrisch und halbbeschränkt ist (und die Friedrichssche Erweiterung ein selbstadjungierter Operator ist).
Die Tschebyscheff-Polynome [mm] $T_{n}(t) [/mm] = [mm] \cos(n\cdot \arccos(t))$ [/mm] bilden ein orthogonales System, die Frage ist jedoch, wie man zeigt, dass sie auch vollständig sind.
Ursprünglich war unser Plan, über die Fouriertransformierte zu argumentieren, dazu hätten wir jedoch zeigen müssen, dass [mm] $L_{2, \rho} [/mm] (-1,1) [mm] \subset L_{1, \rho} [/mm] (-1,1)$, was uns aber noch nicht gelungen ist (wenn es denn überhaupt so ist). Bei ungewichteten [mm] $L_p$-Räumen [/mm] ist die Inklusion klar, aber dieses singuläre Gewicht bereitet uns da einige Schwierigkeiten.
Die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung gilt zwar auch für diesen Raum (sie wurde über grundlegende Eigenschaften des Skalarprodukts bewiesen, die auch [mm] $(.,.)_{\rho}$ [/mm] erfüllt), aber zumindest ich tue mich schwer damit, folgendes aufzuschreiben:
Sei $x [mm] \in {L_{2,\rho}}$
[/mm]
[mm] $||x||_{L_{1,\rho}} [/mm] = [mm] \integral_{-1}^{1}{\bruch{|x(t)|}{\wurzel{1-t^2}}dt} [/mm] = [mm] |(|x|,1)_{\rho}| \le ||x||_{L_{2,\rho}} \cdot ||1||_{L_{2,\rho}} [/mm] = [mm] \pi ||x||_{\rho} [/mm] < [mm] \infty$
[/mm]
Hieraus würde ja die gewünschte Inklusion [mm] $L_{2,\rho}(-1,1) \subset L_{1,\rho}(-1,1)$ [/mm] folgen, aber ich habe ein ungutes Gefühl dabei.
Kurz zusammengefasst hätte ich gerne eins von drei Dingen:
1. Einen Beweis für die Vollständigkeit der Tschebyscheff-Polynome in [mm] $L_{2,\rho}(-1,1)$.
[/mm]
2. Einen Hinweis für die oben genannte Inklusion.
3. Hinweise auf Fehler, die ich hier gemacht habe.
greetz
AT-Colt
Diese Frage ist von mir auf keinem anderen Board gestellt worden.
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Hi,
nur meine spontane meinung, aber:
ich denke, das cauchy-schwarz-argument sollte funktionieren. Du hast ein skalarprodukt, also hast du C-S.
Viele Gruesse
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Mi 18.04.2007 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo, erstmal danke Matthias,
ich habe sicherheitshalber nochmal einen Beweis probiert, der mir erstmal noch etwas schlüssiger und dichter vorkommt:
Sei $w(t) [mm] \in L_{2,\rho}(-1,1)$. [/mm] Dann gilt [mm] $\infty [/mm] > [mm] \parallel [/mm] w [mm] \parallel_{L_{2,\rho}} [/mm] = [mm] \integral_{-1}^{1}{\bruch{|w(t)|^2}{\wurzel{1-t^2}}dt} [/mm] = [mm] \integral_{-1}^{1}{\bruch{\overline{w(t)}}{\wurzel[4]{1-t^2}}\cdot\bruch{w(t)}{\wurzel[4]{1-t^2}}dt} [/mm] = [mm] \parallel \bruch{w(t)}{\wurzel[4]{1-t^2}} \parallel_{L_2}$.
[/mm]
Deshalb ist [mm] $\bruch{w(t)}{\wurzel[4]{1-t^2}} \in L_{2}(-1,1)$.
[/mm]
Weiter gilt [mm] $\parallel \bruch{1}{\wurzel[4]{1-t^2}} \parallel_{L_2} [/mm] = [mm] \parallel [/mm] 1 [mm] \parallel_{L_{2,\rho}} [/mm] = [mm] \wurzel{\pi} [/mm] < [mm] \infty$, [/mm] also [mm] $\bruch{1}{\wurzel[4]{1-t^2}} \in L_{2}(-1,1)$.
[/mm]
Nach der Hölderschen Ungleichung ist dann [mm] $\bruch{1}{\wurzel[4]{1-t^2}}\cdot\bruch{w(t)}{\wurzel[4]{1-t^2}} \in L_{1}(-1,1)$ [/mm] mit [mm] $\parallel \bruch{w(t)}{\wurzel{1-t^2}} \parallel_{L_1} \le \parallel \bruch{w(t)}{\wurzel[4]{1-t^2}} \parallel_{L_2}\cdot\parallel\bruch{1}{\wurzel[4]{1-t^2}}\parallel_{L_2} [/mm] = [mm] \wurzel{\pi}\parallel [/mm] w [mm] \parallel_{L_{2,\rho}} [/mm] < [mm] \infty$.
[/mm]
Dann ist aber auch $f(t) := [mm] \chi_{(-1,-1)}(t)\bruch{w(t)}{\wurzel{1-t^2}} \in L_{1}(\IR)$, [/mm] es existiert also eine Fouriertransformierte [mm] \hat{f} [/mm] zu f.
Ab hier geht der Beweis analog zu dem von z.B. Hermiteschen Polynomen...
Ist hier noch ein Fehler drin?
AT-Colt
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Hi,
also fuer mich siehts schluessig aus!
VG
Matthias
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