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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:38 Di 16.09.2008 | | Autor: | jumape |
| Aufgabe | | Bei vorgegebenem Vektor w mit [mm] w_i>0 [/mm] ist durch [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_w [/mm] = [mm] max_{1\le i\le N} \bruch{1}{w_i}\summe_{k=1}^{N}lm_{ik}lw_k [/mm] eine Vektormorm definiert. Zeigen Sie dass die zugeordnete Matrixnorm für Matrizen durch [mm] llMll_w=max_{1 \le i \le n} \bruch{1}{w_i} \summe_{k=1}^{N}lm_{ik}lw_k [/mm] gegeben ist. |
Also die eine Richtung kriege ich hin ich kann nicht zeigen , dass [mm] max_{llxll_w=1}llMxll_w\gellMll_w
[/mm]
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> Bei vorgegebenem Vektor w mit [mm]w_i>0[/mm] ist durch [mm]\parallel[/mm] x [mm]\parallel_w[/mm] = [mm][mm] max_{1\le i\le N} \bruch{|x_i|}{w_i}
[/mm]
> eine Vektormorm definiert.
> Zeigen Sie dass die zugeordnete
> Matrixnorm für Matrizen durch [mm]\parallel M\parallel _w=max_{1 \le i \le N} \bruch{1}{w_i} \summe_{k=1}^{N}|m_{ik}|w_k[/mm]
> gegeben ist.
> Also die eine Richtung kriege ich hin ich kann nicht
> zeigen , dass [mm]max_{\parallel x\parallel _w=1}\parallel Mx\parallel _w \ge \parallel M\parallel _w[/mm]
Hallo,
erstmal habe ich mir erlaubt, Deine Aufgabe so umzuarbeiten, wie sie vermutlich gestellt wurde.
Dir ist also klar, daß Du zeigen willst
[mm] \parallel M\parallel_w=\max_{\parallel x\parallel _w=1}\parallel Mx\parallel_w \le \max_{1 \le i \le N} \bruch{1}{w_i} \summe_{k=1}^{N}|m_{ik}|w_k \le \parallel M\parallel_w=\max_{\parallel x\parallel _w=1}\parallel Mx\parallel_w,
[/mm]
und Dein Problem liegt beim rechten Teil der Ungleichung.
Bedenke folgendes: [mm] \bruch{1}{w_i}\summe_{k=1}^{N}|m_{ik}||x_k|= \bruch{1}{w_i}\summe_{k=1}^{N}w_k |m_{ik}|\bruch{|x_k|}{w_k},
[/mm]
und über [mm] \bruch{|x_k|}{w_k} [/mm] weißt Du ja was.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 Di 23.09.2008 | | Autor: | jumape |
Danke für den Tip, aber ehrlich gesagt komme ich nicht so richtig weiter. Man nimmt die Matrixnorm von der Matrix M und multipliziert sie mit der Vektornorm eines Vektors, der Norm 1 hat, aber dann hakt es bei mir, wo werde ich denn da größer? Ich schreibs einfach mal hin:
[mm] \parallel M\parallel_w=max_{1\lei\leN} \bruch{1}{w_i} \summe_{k=1}^{N}|m_{ik}| w_k *max_{1 \le i \le N}\bruch{|x_i|}{w_i} [/mm] aber dann weiß ich leider nicht wie ich das jetzt größer machen kann, denn wenn man das max weg nimmt bei der vektornorm, dann wirds doch kleiner.
Es wäre nett wenn mir nochmal jemand helfen könnte.
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> Danke für den Tip, aber ehrlich gesagt komme ich nicht so
> richtig weiter. Man nimmt die Matrixnorm von der Matrix M
> und multipliziert sie mit der Vektornorm eines Vektors, der
> Norm 1 hat,
Hallo,
Du betrachtest jetzt
[mm] \parallel M\parallel_w= \max_{\parallel x\parallel_w = 1}\parallel Mx\parallel_w,
[/mm]
Du hast bisher festgestellt
[mm] \parallel Mx\parallel_w= \max_{1\le i\le N} \bruch{1}{w_i}\summe_{k=1}^{N}|m_{ik}||x_k|=\max_{1\le i\le N} \bruch{1}{w_i}\summe_{k=1}^{N}w_k |m_{ik}|\bruch{|x_k|}{w_k}.
[/mm]
Nun sollst Du aber ja [mm] \max_{\parallel M\parallel_w = 1}\parallel Mx\parallel_w [/mm] anschauen, also hast Du
[mm] \parallel M\parallel_w =\max_{ \parallel x\parallel_w = 1}\parallel Mx\parallel_w=\max_{ \parallel x\parallel_w = 1}\max_{1\le i\le N} \bruch{1}{w_i}\summe_{k=1}^{N}w_k |m_{ik}|\bruch{|x_k|}{w_k}
[/mm]
Wir betrachten hier nur die x, deren Norm =1 ist, erhalten also
$ [mm] \parallel M\parallel_w =\max_{ \parallel x\parallel_w = 1}\parallel Mx\parallel_w=\max_{ \parallel x\parallel_w = 1}\max_{1\le i\le N} \bruch{1}{w_i}\summe_{k=1}^{N}w_k |m_{ik}|\bruch{|x_k|}{w_k} [/mm] $ [mm] \le \max_{1\le i\le N} \bruch{1}{w_i}\summe_{k=1}^{N}w_k |m_{ik}|
[/mm]
Gruß v. Angela
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