Geschlossene Form und Erz. Fkt < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:27 Di 05.01.2010 | | Autor: | andyxt |
Hallo. Ich habe die Rekursion [mm] f_n [/mm] = [mm] f_{n-2} [/mm] + [mm] 2f_{n-1}. [/mm] Dazu habe ich die erzeugenden Funktion [mm] \sum_{n=0}^{\infty} f_nx^n [/mm] = [mm] \frac{3x}{1-2x-x^2} [/mm] berechnet. Alles soweit so gut.
Nun wollte ich die geschlossene Form der Rekursion via Partialbruchzerlegung ermitteln.
[mm] \frac{3x}{1-2x-x^2} [/mm] = [mm] \frac{A}{1-ax} [/mm] + [mm] \frac{B}{1-bx} [/mm]
a und b war recht einfach: [mm] a=1+\sqrt{2}; b=1-\sqrt{2}
[/mm]
Nun wollte ich A und B ermitteln und erhielt [mm] A=\frac{3}{2\sqrt{2}} [/mm] und [mm] B=-\frac{3}{2\sqrt{2}}
[/mm]
Wenn ich nun die geschlossene Form [mm] f_n= Aa^n [/mm] + [mm] Bb^n [/mm] anwende kommt aber nicht das richtige Ergebnis heraus.
Daraufhin habe ich ich A und B errechnet in dem ich in die Gleichungen für [mm] f_1=3 [/mm] und [mm] f_2=7 [/mm] eingesetzt habe.
Und dort kommt das richtige Ergebnis heraus: [mm] f_n= (1+\frac{1}{2+2\sqrt{2}})(1+\sqrt{2})^n [/mm] + [mm] \frac{-2+\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}(1-\sqrt{2})^n
[/mm]
Könnt ihr mir sagen wo mein Fehler im ersten Weg ist? Ich verstehe es schlicht und ergreifend nicht. Bei der Fibonacci-Rekursion hat das super geklappt. Wo ist da der Unterschied? Vielen Dank schon einmal. :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Sa 06.02.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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