Geschlitzte Ebene < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:51 Mi 15.02.2012 | | Autor: | kalifat |
| Aufgabe | | Die geschlitzte Ebene [mm] \IC^{ -}:=\IC [/mm] ohne [mm] \{x:x\le{0}\} [/mm] ist zusammenhängend. |
Ich würde gerne die Äquivalenz zeigen, also das [mm] \IC^{ -} [/mm] wegzusammenhängend ist.
[mm] \forall z_1,z_2\in\IC^{ -} \exists [/mm] stetiges [mm] \phi:[a,b]->\IC^{ -} [/mm] mit [mm] \phi(a)=z_1 [/mm] und [mm] \phi(b)=z_2
[/mm]
Ich habe da gerade einen Aussetzer, graphisch ist es eh offensichtlich, formal bereitet es mir Schwierigkeiten.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:04 Mi 15.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Die geschlitzte Ebene [mm]\IC^{ -}:=\IC[/mm] ohne [mm]\{x:x\le{0}\}[/mm] ist
> zusammenhängend.
> Ich würde gerne die Äquivalenz zeigen, also das [mm]\IC^{ -}[/mm]
> wegzusammenhängend ist.
>
> [mm]\forall z_1,z_2\in\IC^{ -} \exists[/mm] stetiges
> [mm]\phi:[a,b]->\IC^{ -}[/mm] mit [mm]\phi(a)=z_1[/mm] und [mm]\phi(b)=z_2[/mm]
>
> Ich habe da gerade einen Aussetzer, graphisch ist es eh
> offensichtlich, formal bereitet es mir Schwierigkeiten.
Strategie: Ist [mm] z_1 \in \IC^{ -}, [/mm] so setze [mm] \phi_1(t):=1+t(z_1-1) [/mm] für t [mm] \in [/mm] [0,1].
Dann ist [mm] \phi_1 [/mm] stetig und "verbindet 1 mit [mm] z_1 [/mm] in [mm] \IC^{ -} [/mm] "
Mit [mm] z_2 [/mm] verfahre genauso.
Kannst Du nun " [mm] z_1 [/mm] und [mm] z_2 [/mm] in [mm] \IC^{ -} [/mm] miteinander verbinden " ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:14 Mi 15.02.2012 | | Autor: | kalifat |
Du zeigst hier also, dass es sich bei [mm] \IC^{ -} [/mm] um eine sogenannte konvexe Menge handelt, richtig?
Wenn ich jetzt also zwei stetige Funktionen [mm] \phi_1 [/mm] (verbindet 1 mit [mm] z_1) [/mm] und [mm] \phi_2 [/mm] (verbindet 1 mit [mm] z_2)habe [/mm] folgt ja aus der Transitivität das ein Weg von [mm] \phi_1 [/mm] zu [mm] \phi_2 [/mm] existiert.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:19 Mi 15.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Du zeigst hier also, dass es sich bei [mm]\IC^{ -}[/mm] um eine
> sogenannte konvexe Menge handelt, richtig?
Unfug ! [mm]\IC^{ -}[/mm] ist doch nicht konvex ! Was ich gezeigt habe ist: jeder Punkt von [mm]\IC^{ -}[/mm] lässt sich mit dem Punkt 1 in [mm]\IC^{ -}[/mm] stetig verbinden.
Damit ist [mm]\IC^{ -}[/mm] eine sternförmige Menge mit 1 als Sternmittelpunkt.
>
> Wenn ich jetzt also zwei stetige Funktionen [mm]\phi_1[/mm]
> (verbindet 1 mit [mm]z_1)[/mm] und [mm]\phi_2[/mm] (verbindet 1 mit [mm]z_2)habe[/mm]
> folgt ja aus der Transitivität das ein Weg von [mm]\phi_1[/mm] zu
> [mm]\phi_2[/mm] existiert.
Ja
FRED
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