Gesamtladung eines Kugelkörper < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:26 Di 08.07.2008 | | Autor: | tresen |
| Aufgabe | | Der Kugelkörper [mm]x^2+y^2+z^2 \le 2 [/mm] sei mit der Ladung der Dichte [mm] rho = \wurzel {x^2+y^2} [/mm] belegt. Berechnen Sie die Gesamtldung des Körpers! |
Es sollte laut Musterlösung [mm] pi^2 [/mm] rauskommen. Ich bekomm aber was anderes heraus. Wer kann helfen
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
[mm]z[/mm]-Koordinate unterschlagen: [mm]\sqrt{x^2 + y^2} \neq r[/mm] !
[mm]Q = 2 \int \limits_{x^2 + y^2 \leq 2} \left( \int \limits_0^{\sqrt{2 - \left( x^2 + y^2 \right)}} \sqrt{x^2 + y^2} \ ~\mathrm{d}z \right)~\mathrm{d}(x,y) = 2 \int \limits_{x^2 + y^2 \leq 2} \sqrt{x^2 + y^2} \sqrt{2 - \left( x^2 + y^2 \right)}\ ~\mathrm{d}(x,y)[/mm]
Mit angepaßten Polarkoordinaten
[mm]x = \sqrt{2} \, \sin u \, \cos v \, , \ \ y = \sqrt{2} \, \sin u \, \sin v \, ; \ \ \ \mathrm{d}(x,y) = 2 \, \sin u \, \cos u ~\mathrm{d}(u,v)[/mm]
geht es dann schnell:
[mm]Q = 2 \int \limits_{- \pi}^{\pi} \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{2} \, \sin u \cdot \sqrt{2 - 2 \sin^2 u} \cdot 2 \, \sin u \, \cos u~\mathrm{d}u~\mathr{d}v[/mm]
Wenn man bekannte trigonometrische Beziehungen verwendet, vereinfacht sich der Integrand bis auf konstante Faktoren zu [mm]1 - \cos (4u)[/mm].
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Mi 09.07.2008 | | Autor: | tresen |
soweit komm ich mit, aber wie kommst du auf:
> [mm] \ \ \ \mathrm{d}(x,y) = 2 \, \sin u \, \cos u ~\mathrm{d}(u,v)[/mm] ?
|
|
|
| |
|
Da steckt die Funktionaldeterminante dahinter, die man nach der Substitutionsregel für Bereichsintegrale braucht.
[mm](x,y) = \left( \, \varphi_1(u,v) \, , \, \varphi_2(u,v) \, \right) = \left( \sqrt{2} \, \sin u \, \cos v \, , \, \sqrt{2} \, \sin u \, \sin v \right)[/mm]
[mm]\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \det \left( \varphi'(u,v) \right) = \begin{vmatrix} \ \sqrt{2} \, \cos u \, \cos v & - \sqrt{2} \, \sin u \, \sin v \ \\ \ \sqrt{2} \, \cos u \, \sin v & \sqrt{2} \, \sin u \, \cos v \ \end{vmatrix} = 2 \, \sin u \, \cos u \, \cos^2 v + 2 \, \sin u \, \cos u \, \sin^2 v[/mm]
[mm]= 2 \sin u \, \cos u \, \left( \cos^2 v + \sin^2 v \right) = 2 \sin u \, \cos u[/mm]
Und hiervon muß man den Betrag nehmen, was aber nichts ändert, da für die in Frage kommenden [mm]u[/mm]-Werte der Term niemals negativ wird. Also gilt:
[mm]\mathrm{d}(x,y) = 2 \, \sin u \, \cos u ~\mathrm{d}(u,v)[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:08 Do 10.07.2008 | | Autor: | tresen |
danke!
|
|
|
|
