Gesamte Lösungsmenge bestimmen < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:05 So 21.11.2010 | | Autor: | Brandon |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die gesamte Lösungsmenge:
L [mm] \vektor{\pmat{ 1 & 4 & 3 & 3 \\ 1 & 5 & 4 & 2 \\ 0 & -1 & 0 & 3 } , \vektor{1 \\ 2 \\ 3}} \subset \IR^{4} [/mm] |
Hallo,
das Problem an der Aufgabe ist nicht, dass ich nicht die Matrix an sich lösen kann. mich irritiert nur, dass die Matrix in der Lösungsmenge steht und zwischen Matrix und Vektor nicht ein Mal oder garkein Zeichen ist, sondern ein Komma. Was [mm] \subset \IR^{4} [/mm] bedeutet in diesem Zusammenhang verstehe ich leider auch nicht ganz. Ich wollte mich über Google schlau machen, aber ich hab dazu nichts konkretes finden können.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:10 So 21.11.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo Brandon,
> Bestimmen Sie die gesamte Lösungsmenge:
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> L [mm]\vektor{\pmat{ 1 & 4 & 3 & 3 \\ 1 & 5 & 4 & 2 \\ 0 & -1 & 0 & 3 } , \vektor{1 \\ 2 \\ 3}} \subset \IR^{4}[/mm]
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> Hallo,
>
> das Problem an der Aufgabe ist nicht, dass ich nicht die
> Matrix an sich lösen kann. mich irritiert nur, dass die
> Matrix in der Lösungsmenge steht und zwischen Matrix und
> Vektor nicht ein Mal oder garkein Zeichen ist, sondern ein
> Komma. Was [mm]\subset \IR^{4}[/mm] bedeutet in diesem Zusammenhang
> verstehe ich leider auch nicht ganz. Ich wollte mich über
> Google schlau machen, aber ich hab dazu nichts konkretes
> finden können.
Das ist nur eine Schreibweise.
$L(A,b)$ und bedeutet "Lösungsmenge von dem Gleichungssystem mit A als Koeffizientenmatrix und mit b als rechter Seite."
Die Lösungsmenge ist Teilmenge des [mm] $\IR^4$ [/mm] (diese Angabe ist redundant, da man diese Information aus der Spaltenzahl der Matrix A erschließen kann).
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:44 So 21.11.2010 | | Autor: | Brandon |
Okay danke für die Erläuterung.
Ich habe jetzt diese LGS erstellt.
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] 4x_{2} [/mm] + [mm] 3x_{3} [/mm] + [mm] 3x_{4} [/mm] = 1
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] 5x_{2} [/mm] + [mm] 4x_{3} [/mm] + [mm] 2x_{4} [/mm] = 2
[mm] 0x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] + [mm] 0x_{3} [/mm] + [mm] 3x_{4} [/mm] = 3
Nach ein wenig rumgerechne ist mir aufgefallen, dass ich hier 4 Unbekannte und nur 3 Gleichungen habe. Ich habe erst versucht eine Unbekannte durch eine andere auszudrücken, aber so kam ich nicht weiter. Die Gauss'sche Stufenform (die wir verwenden sollen) hab ich leider auch nicht hinbekommen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:22 So 21.11.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo,
> Okay danke für die Erläuterung.
>
> Ich habe jetzt diese LGS erstellt.
>
> [mm]x_{1}[/mm] + [mm]4x_{2}[/mm] + [mm]3x_{3}[/mm] + [mm]3x_{4}[/mm] = 1
> [mm]\red{x_{1}}[/mm] + [mm]5x_{2}[/mm] + [mm]4x_{3}[/mm] + [mm]2x_{4}[/mm] = 2
> [mm]\red{0x_{1}}[/mm] - [mm]\red{x_{2}}[/mm] + [mm]0x_{3}[/mm] + [mm]3x_{4}[/mm] = 3
>
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> Nach ein wenig rumgerechne ist mir aufgefallen, dass ich
> hier 4 Unbekannte und nur 3 Gleichungen habe. Ich habe erst
> versucht eine Unbekannte durch eine andere auszudrücken,
> aber so kam ich nicht weiter. Die Gauss'sche Stufenform
> (die wir verwenden sollen) hab ich leider auch nicht
> hinbekommen.
Dann musst du das nochmal nachlesen, wie das geht, ich kann dir hier auch nur dasselbe schreiben, was in deinem Skript steht.
Für die Gaussche Stufenform musst du es schaffen, die roten Einträge verschwinden zu lassen (einer ist ja bereits 0).
Um den roten Eintrag in der mittleren Zeile verschwinden zu lassen, multipliziere die erste Gleichung mit -1 und addiere das Ergebnis zu zweiten.
Um dann den zweiten roten Eintrag der letzten Zeile verschwinden zu lassen, addiere einfach die zweite Gleichung zur dritten.
In der dritten Zeile steht dann eine Gleichung mit zwei Unbekannten [mm] ($x_3$ [/mm] und [mm] $x_4$).
[/mm]
Jetzt hängt die weitere Vorgehensweise von deinem Skript ab, schau' da mal nach, wie ihr die Lösungsmenge eines lineare Gleichungssystems mit unendlich vielen Lösungen aufschreiben sollt.
VIele Grüße,
Marc
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