Ges.:Eigenwerte und -vektoren < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:01 Mo 08.06.2009 | | Autor: | andreji |
| Aufgabe | [mm] A=\pmat{ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 2}
[/mm]
Berechnen Sie die Eigenwerte und -vektoren von A.
Tipp: A ist symmetrisch. Berechnen Sie das charakteristische Polynom nicht direkt, sondern berechnen Sie zunächst die Eigenvektoren zum Eigenwert Null.
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Guten Tag,
ich komme bei der folgenden Aufgabe nicht voran, weil mir der Ansatz fehlt.
Ich habe zuerst den Eigenvektor zum Eigenwert 0 bestimmt:
[mm] \overrightarrow{v}=\vektor{r \\ s \\ t \\ -r-s-t}
[/mm]
Nun weiß ich nicht, wie ich den berechneten Eigenvektor weiterverwende, um die weiteren Eigenwerte und Eigenvektoren zu bestimmen.
Wenn jemand weiß wie man hier fortfahren kann, dann helft mir bitte ein wenig.
Gruß
Andrej
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Hallo andreji,
> [mm]A=\pmat{ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 2}[/mm]
>
> Berechnen Sie die Eigenwerte und -vektoren von A.
> Tipp: A ist symmetrisch. Berechnen Sie das
> charakteristische Polynom nicht direkt, sondern berechnen
> Sie zunächst die Eigenvektoren zum Eigenwert Null.
>
> Guten Tag,
>
> ich komme bei der folgenden Aufgabe nicht voran, weil mir
> der Ansatz fehlt.
> Ich habe zuerst den Eigenvektor zum Eigenwert 0 bestimmt:
>
> [mm]\overrightarrow{v}=\vektor{r \\ s \\ t \\ -r-s-t}[/mm]
>
> Nun weiß ich nicht, wie ich den berechneten Eigenvektor
> weiterverwende, um die weiteren Eigenwerte und
> Eigenvektoren zu bestimmen.
Diesen Vektor v kannst Du wiederum aufspalten:
[mm]\pmat{r \\ s \\ t \\ -r-s-t}=r*\pmat{1 \\ 0 \\ 0 \\ -1}+s*\pmat{0 \\ 1 \\ 0 \\ -1}+t*\pmat{0 \\ 0 \\ 1 \\ 1}[/mm]
Das heißt jetzt, daß
[mm]\pmat{1 \\ 0 \\ 0 \\ -1}, \ \pmat{0 \\ 1 \\ 0 \\ -1}, \ \pmat{0 \\ 0 \\ 1 \\ -1}[/mm]
Eigenvektoren zum Eigenwert 0 sind.
>
> Wenn jemand weiß wie man hier fortfahren kann, dann helft
> mir bitte ein wenig.
>
> Gruß
> Andrej
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:53 Mo 08.06.2009 | | Autor: | andreji |
Hi Mathepower,
danke für deine Antwort. Du hast jetzt die Eigenvektoren zum Eigenwert 0 bestimmt. Wie können die bisherigen Ergebnisse nun weiterverwendet werden, um weitere Eigenwerte zu bestimmen?
Gruß
Andrej
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:41 Di 09.06.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> danke für deine Antwort. Du hast jetzt die Eigenvektoren
> zum Eigenwert 0 bestimmt. Wie können die bisherigen
> Ergebnisse nun weiterverwendet werden, um weitere
> Eigenwerte zu bestimmen?
Wieviele weitere Eigenwerte kann es noch geben?
Was ist mit [mm] $\vektor{ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 }$?
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:14 Di 09.06.2009 | | Autor: | andreji |
Ja, (1, 1, 1, 1) ist der Eigenvektor zum Eigenwert 8. Ich habe das mit einem Java Tool berechnen lassen. Aber wie kommt man selbst darauf?
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> Ja, (1, 1, 1, 1) ist der Eigenvektor zum Eigenwert 8. Ich
> habe das mit einem Java Tool berechnen lassen. Aber wie
> kommt man selbst darauf?
Hallo,
zunächst einmal muß dieser EV von den vorhergehenden linear unabhängig sein, denn Du weißt, daß symmetrische Matrizen eine Basis aus Eigenvektoren haben.
Der zu findende vektor muß also die drei, die Du schon hast, zu einer Basis ergänzen.
Weiter weiß "man", daß Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten bei symmetrischen Matrizen senkrecht zueinander sind.
Folglich muß der ergänzende Vektor auf allen dreien, die Du schon hast, senkrecht stehen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:00 Di 09.06.2009 | | Autor: | andreji |
Habe das jetzt verstanden, ich danke euch für die Hilfe.
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