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| Aufgabe | | Sei [mm] A\in \IC^{nxn} [/mm] symmetrisch. Dann enthält jeder Gerschgorin-Kreis mindestens einen Eigenwert von A. |
Ich wollte diese Aufgabe per Widerspruch lösen, komme aber irgendwie nicht so richtig weiter.
Also angenommen, es existert ein Gerschgorin-Kreis [mm] R_{k}, [/mm] der keinen Eigenwert von A enthält, dann gilt also
[mm] $|\lambda-a_{kk}|>\summe_{j=1}^{n}|a_{kj}| [/mm] $für [mm] \lambda \in \sigma(A). [/mm] Da A ja symmetrisch ist, gilt auch
[mm] $|\lambda-a_{kk}|>\summe_{j=1}^{n}|a_{jk}|$. [/mm] Wenn ich jetzt beide Ungleichungen voneinander abziehe bliebt ja da 0>0 stehen ein Widerspruch. Aber irgendwie überzeugt mich das noch nicht richtig.
Für einen Hinweis wäre ich dankbar.
Frohe Ostern
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:56 Di 14.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]A\in \IC^{nxn}[/mm] symmetrisch. Dann enthält jeder
> Gerschgorin-Kreis mindestens einen Eigenwert von A.
> Ich wollte diese Aufgabe per Widerspruch lösen, komme aber
> irgendwie nicht so richtig weiter.
>
> Also angenommen, es existert ein Gerschgorin-Kreis [mm]R_{k},[/mm]
> der keinen Eigenwert von A enthält, dann gilt also
> [mm]|\lambda-a_{kk}|>\summe_{j=1}^{n}|a_{kj}| [/mm]für [mm]\lambda \in \sigma(A).[/mm]
> Da A ja symmetrisch ist, gilt auch
> [mm]|\lambda-a_{kk}|>\summe_{j=1}^{n}|a_{jk}|[/mm]. Wenn ich jetzt
> beide Ungleichungen voneinander abziehe bliebt ja da 0>0
> stehen ein Widerspruch. Aber irgendwie überzeugt mich das
> noch nicht richtig.
Mich auch nicht !
Nach Deiner Methode folgt aus 2>1 die falsche Ungl. 0>0
2>1
2>1
jetzt abziehen ?!
FRED
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> Für einen Hinweis wäre ich dankbar.
>
> Frohe Ostern
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