Geradenschar -> Ebene < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:44 Do 16.10.2008 | | Autor: | SWiSH |
| Aufgabe 1 | [mm] g_{a}: \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ 1 \\ 48} [/mm] + s [mm] \vektor{-8a + 2 \\ 3a \\ a-1}
[/mm]
Aufgabe 1:
Die Geraden der Schar [mm] g_{a} [/mm] liegen in einer Ebene E. Bestimmen Sie zunächst eine Parameterdarstellung von E und daraus dann eine Koordinatengleichung. Zeigen Sie anschließend, dass tatsächlich alle Geraden aus [mm] g_{a} [/mm] in E liegen. (Zur Kontrolle: E: [mm] x_{1} [/mm] + [mm] 2x_{2} [/mm] + [mm] 2x_{3} [/mm] = 96) |
| Aufgabe 2 | | In der Ebene E gibt es eine Gerade h, deren Punkte (außer einem) auf keiner Geraden der Schaar [mm] g_{a} [/mm] liegen. Bestimmen Sie eine Parametergleichung von h. Beschreiben Sie, wie man rechnerisch zeigen würde, dass durch jeden Punkt von E, der nicht auf h liegt, genau eine Gerade der Schar [mm] g_{a} [/mm] geht. |
Hi,
Es geht um die Geradenschaar [mm] g_{a}. [/mm]
Parameterdarstellung der Ebene E aus [mm] g_{a} [/mm] gebildet (mit a=0 und a=1):
E: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ 1 \\ 48} [/mm] + r [mm] \vektor{-2 \\ 0 \\ -1} [/mm] + s [mm] \vektor{-6 \\ 3 \\ 0}
[/mm]
Wir haben nachgewiesen, dass alle Geraden aus [mm] g_{a} [/mm] in der Ebene E liegen.
Aber nun zur Aufgabe 2. Ich kann mir überhaupt nicht vorstellen, wie sowas möglich ist. Eine Gerade aus E kann identisch mit einer Gerade der Schar sein, aber dann gibt es ja mehrere Geraden. Sonst schneidet doch eine Gerade aus E immer verschiedene Geraden aus der Schar und nicht nur eine, oder nicht?
Hoffe ihr könnt mir da helfen.
Schonmal Danke im Voraus.
Viele Grüße
SWiSH
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:56 Fr 17.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> [mm]g_{a}: \vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{-2 \\ 1 \\ 48}[/mm] + s [mm]\vektor{-8a + 2 \\ 3a \\ a-1}[/mm]
>
> Aufgabe 1:
>
> Die Geraden der Schar [mm]g_{a}[/mm] liegen in einer Ebene E.
> Bestimmen Sie zunächst eine Parameterdarstellung von E und
> daraus dann eine Koordinatengleichung. Zeigen Sie
> anschließend, dass tatsächlich alle Geraden aus [mm]g_{a}[/mm] in E
> liegen. (Zur Kontrolle: E: [mm]x_{1}[/mm] + [mm]2x_{2}[/mm] + [mm]2x_{3}[/mm] = 96)
> In der Ebene E gibt es eine Gerade h, deren Punkte (außer
> einem) auf keiner Geraden der Schaar [mm]g_{a}[/mm] liegen.
> Bestimmen Sie eine Parametergleichung von h. Beschreiben
> Sie, wie man rechnerisch zeigen würde, dass durch jeden
> Punkt von E, der nicht auf h liegt, genau eine Gerade der
> Schar [mm]g_{a}[/mm] geht.
> Hi,
>
> Es geht um die Geradenschaar [mm]g_{a}.[/mm]
>
> Parameterdarstellung der Ebene E aus [mm]g_{a}[/mm] gebildet (mit
> a=0 und a=1):
Ich befürchte, das sollst du mit allen Geraden machen.
Also:
[mm] \vec{x}=\vektor{-2\\1\\48}+s*\vektor{-8a+2\\3a\\a-1}
[/mm]
[mm] \gdw \vec{x}=\vektor{-2\\1\\48}+s*\left[\vektor{-8a\\3a\\a}+\vektor{2\\0\\-1}\right]
[/mm]
[mm] \gdw \vec{x}=\vektor{-2\\1\\48}+s*\left[a*\vektor{-8\\3\\1}+\vektor{2\\0\\-1}\right]
[/mm]
[mm] \gdw \vec{x}=\vektor{-2\\1\\48}+s*a*\vektor{-8\\3\\1}+s*\vektor{2\\0\\-1}
[/mm]
[mm] \stackrel{s*a:=r}\gdw \vec{x}=\vektor{-2\\1\\48}+r\vektor{-8\\3\\1}+s*\vektor{2\\0\\-1}
[/mm]
Und das ist eine Ebene in Parameterform, die du jetzt noch in Koordinatenform umwandeln sollst.
>
> E: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{-2 \\ 1 \\ 48}[/mm] + r [mm]\vektor{-2 \\ 0 \\ -1}[/mm]
> + s [mm]\vektor{-6 \\ 3 \\ 0}[/mm]
>
> Wir haben nachgewiesen, dass alle Geraden aus [mm]g_{a}[/mm] in der
> Ebene E liegen.
>
> Aber nun zur Aufgabe 2. Ich kann mir überhaupt nicht
> vorstellen, wie sowas möglich ist. Eine Gerade aus E kann
> identisch mit einer Gerade der Schar sein, aber dann gibt
> es ja mehrere Geraden. Sonst schneidet doch eine Gerade aus
> E immer verschiedene Geraden aus der Schar und nicht nur
> eine, oder nicht?
Setze mal zwei der Geraden gleich:
[mm] \vektor{-2\\1\\48}+s*\vektor{-8a+2\\3a\\a-1}=\vektor{-2\\1\\48}+r*\vektor{-8b+2\\3b\\b-1}
[/mm]
[mm] \gdw \vmat{-2+s(-8a+2)=-2+r(-8b+2)\\1+3as=1+3br\\48+s(a-1)=48+r(b-1)}
[/mm]
[mm] \gdw \vmat{s(-8a+2)=r(-8b+2)\\as=br\\s(a-1)=r(b-1)}
[/mm]
[mm] \gdw \vmat{-4as+s=-4br+r\\as=br\\sa-s=rb-r}
[/mm]
Und das Gleichungssytem versuche mal zu lösen. Dann wirst du auf einige Spezialfälle kommen, die du dann betrachten musst. Was heisst das dann über evtl. vorhandene Schnittpunkte?
>
> Hoffe ihr könnt mir da helfen.
>
> Schonmal Danke im Voraus.
>
> Viele Grüße
>
> SWiSH
Ich lasse die Frage mal auf Teilweise beantwortet, dass du evtl. noch andere Infos bekommst.
Marius
|
|
|
| |
|
> > Es geht um die Geradenschaar [mm]g_{a}.[/mm]
> >
> > Parameterdarstellung der Ebene E aus [mm]g_{a}[/mm] gebildet (mit
> > a=0 und a=1):
>
> Ich befürchte, das sollst du mit allen Geraden machen.
Hallo,
nein, so wie SWiSH das gemacht hat, ist es doch in Ordnung:
er hat zunächst zwei der Geraden der Schar genommen und die dadurch bestimmte Ebene festgestellt.
Er schreibt, daß er anschließend gezeigt hat, daß jede der Geraden in dieser Ebene liegt.
Das ist doch völlig in Ordnung so.
> > Aber nun zur Aufgabe 2. Ich kann mir überhaupt nicht
> > vorstellen, wie sowas möglich ist. Eine Gerade aus E kann
> > identisch mit einer Gerade der Schar sein, aber dann gibt
> > es ja mehrere Geraden. Sonst schneidet doch eine Gerade aus
> > E immer verschiedene Geraden aus der Schar und nicht nur
> > eine, oder nicht?
>
> Setze mal zwei der Geraden gleich:
Das bringt doch nichts.
Wir wissen doch durch kurzes Angucken der Gleichung der Geradenschar $ [mm] g_{a}: \vec{x} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{-2 \\ 1 \\ 48} [/mm] $ + s $ [mm] \vektor{-8a + 2 \\ 3a \\ a-1} [/mm] $,
daß sämtliche Geraden durch den Punkt [mm] \vektor{-2 \\ 1 \\ 48} [/mm] gehen. Was anderes wird man wohl auch durchs Gleichsetzen nicht erfahren können.
Es geht hier aber um etwas anderes: darum, eine Gerade h zu finden, welche nur einen einzigen Punkt mit der kompletten Geradenschar gemeinsam hat.
Das muß also eine Gerade sein, die nicht zur Schar gehört.
Die vorliegende Schar ist ein Geradenbüschel, und wenn man sich die Sache mal aufzeichnet oder vorstellt, so kommt man schnell darauf, daß es nicht anders sein kann, als daß die gesuchte Gerade h auch durch den Punkt [mm] \vektor{-2 \\ 1 \\ 48} [/mm] geht.
Es muß in dem Geradenbüschel also irgendwo eine "Lücke" geben.
|
|
|
| |
|
> [mm]g_{a}: \vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{-2 \\ 1 \\ 48}[/mm] + s [mm]\vektor{-8a + 2 \\ 3a \\ a-1}[/mm]
> In der Ebene E gibt es eine Gerade h, deren Punkte (außer
> einem) auf keiner Geraden der Schaar [mm]g_{a}[/mm] liegen.
> Bestimmen Sie eine Parametergleichung von h. Beschreiben
> Sie, wie man rechnerisch zeigen würde, dass durch jeden
> Punkt von E, der nicht auf h liegt, genau eine Gerade der
> Schar [mm]g_{a}[/mm] geht.
> Aber nun zur Aufgabe 2. Ich kann mir überhaupt nicht
> vorstellen, wie sowas möglich ist. Eine Gerade aus E kann
> identisch mit einer Gerade der Schar sein, aber dann gibt
> es ja mehrere Geraden. Sonst schneidet doch eine Gerade aus
> E immer verschiedene Geraden aus der Schar und nicht nur
> eine, oder nicht?
Hallo,
ich hatte hierzu eben bereits etwas in meiner Mitteilung zu Marius' Antwort geschrieben, ich wiederhole es kurz:
bei der Geradenschar handelt es sich um ein Büschel von Geraden durch den Punkt [mm] \vektor{-2 \\ 1 \\ 48}. [/mm] Allle diese Geraden liegen in einer Ebene - so kann man es sich bequem auf einem Zettel skizzieren.
Du hast schon festgestellt, daß die Gerade h auch durch den Punkt [mm] \vektor{-2 \\ 1 \\ 48} [/mm] gehen muß, weil sie sonst stets mehrere Geraden schneidet.
Es muß also in dem Geradenbüschel eine "Lücke" geben, in welcher die gesuchte Gerade liegt.
Ich will Dir zunächst nur einen Tip geben, mit welchem Du vielleicht auf eine Idee kommst, welches die Gerade h sein könnte:
es ist
[mm] g_{a}: \vec{x}[/mm] [/mm] = [mm]\vektor{-2 \\ 1 \\ 48}[/mm] + s [mm]\vektor{-8a + 2 \\ 3a \\ a-1}[/mm] = [mm]\vektor{-2 \\ 1 \\ 48}[/mm] + sa [mm]\vektor{-8 \\ 3 \\ 1}[/mm][mm] +s\vektor{2 \\0 \\ -1}
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:48 Sa 18.10.2008 | | Autor: | SWiSH |
Erstmal danke für deinen Tip.
Ich hab mir überlegt, dass im Unterschied zur Ebenengleichung ja bei der Schar die beiden "Spannvektoren" (nach dem Ausklammern von a) beide von s abhängen. In der Ebenengleichung sind beide(r und s) unabhängig voneinander. Dadurch könnte es zur einer Lücke im Büschel kommen, den die Ebene nicht hat.
Die grundsätzliche Frage ist dann im Prinzip das Gegenteil zur Aufgabe 1. Da mussten wir prüfen, ob alle Geraden von [mm] g_{a} [/mm] in E liegen. Jetzt ist es umgekehrt, ob alle Geraden aus E auch in [mm] g_{a} [/mm] liegen, richtig?
Wie könnte man das Formal prüfen? Wenn man das gleich setzt kommt eine wahre Aussage bei mir raus...
Kann folgendes die Lösung sein?
h: [mm] \vec{x}= \vektor{-2 \\ 1 \\ 48} [/mm] + u [mm] \vektor{-8 \\ 3 \\ 1}
[/mm]
Hatte sowas ähnliches im Heft stehen und das nach diesem "Kochrezept" mal gemacht. Habe aber jetzt gerade die Probe (Gibt es ein a, das die Gerade h beschreibt?; [mm] g_{a} [/mm] = h -> LGS) gemacht, und da kommt 0 = 0 raus, also eine wahre Aussage. Habe eigentlich eine falsche Aussage oder einen spetziellen wert für a erwartet. Was bedeutet das? Oder hab ich mich verrechnet?
Aber wirklich verstanden, warum das so ist, habe ich das alles immer noch nicht...
|
|
|
| |
|
> Erstmal danke für deinen Tip.
> Ich hab mir überlegt, dass im Unterschied zur
> Ebenengleichung ja bei der Schar die beiden "Spannvektoren"
> (nach dem Ausklammern von a) beide von s abhängen. In der
> Ebenengleichung sind beide(r und s) unabhängig voneinander.
> Dadurch könnte es zur einer Lücke im Büschel kommen, den
> die Ebene nicht hat.
>
> Die grundsätzliche Frage ist dann im Prinzip das Gegenteil
> zur Aufgabe 1. Da mussten wir prüfen, ob alle Geraden von
> [mm]g_{a}[/mm] in E liegen. Jetzt ist es umgekehrt, ob alle Geraden
> aus E auch in [mm]g_{a}[/mm] liegen, richtig?
> Wie könnte man das Formal prüfen? Wenn man das gleich
> setzt kommt eine wahre Aussage bei mir raus...
>
> Kann folgendes die Lösung sein?
> h: [mm]\vec{x}= \vektor{-2 \\ 1 \\ 48}[/mm] + u [mm]\vektor{-8 \\ 3 \\ 1}[/mm]
>
Stimmt. Gut gemacht.
Überleg' einfach mal, ob die Vektoren [mm]\vektor{-8 \\ 3 \\ 1}[/mm] und [mm]\vektor{-8\,a+2 \\ 3\,a \\ a-1}[/mm] jemals kollinear sein können?
Nun? Beim Gleichsetzen sollte rauskommen, dass die Gerade $h$ und das Büschel genau einen gemeinsamen Punkt haben. Vermutlich ein Rechenfehler.
Dass alle Geraden des Büschels [mm] $g_a$ [/mm] in $E$ enthalten sind kannst Du über den gemeinsamen Aufpunkt A$( -2 [mm] \mid [/mm] 1 [mm] \mid [/mm] 48)$ und dir Orthogonalität von Normalenvektor von $E$ und Richtungsvektor [mm] $g_a$ [/mm] begründen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß
mathemak
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
Hi,
wie setzt man nun an, wenn man zeigen will, dass alle Punkte der Ebene, die nicht in h enthalten sind auf genau einer Gerade der Schaar liegen.
MFG Roadrunner116
|
|
|
| |
|
> Hi,
> wie setzt man nun an, wenn man zeigen will, dass alle
> Punkte der Ebene, die nicht in h enthalten sind auf genau
> einer Gerade der Schaar liegen.
>
> MFG Roadrunner116
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
ich würde einen beliebigen Punkt der Ebene nehmen, der außerhalb von h liegt, den Differenzvektor mit dem Stützvektor der Schar bilden und nachschauen, für welche Parameter er parallel zu einem Richtungsvektor der Geradenschar ist.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Danke schonmal an dieser Stelle, aber mir reicht das irgendwie nicht.
Das ist nun schön und gut ... wir können jetzt beliebige Punkte suchen und zeigen dass diese auf genau einer geraden liegen.
Jetzt kommt mein Problem: wie Prüfe ich, ob es nicht noch andere "Lücken" in unserem Geradenbüschel gibt? Weil das wäre ja die Einzige Möglichkeit für "Punkt liegt weder auf einer Geraden der Schaar, noch auf unserer Hilfsgeraden".
Weil von der bisherigen Betrachtung aus können wir nicht sagen "alle Punkte der Ebene, die nicht auf h liegen, liegen auf genau einer Gerade der Schaar".
Das mit dem "genau einer" erinnert mich irgendwie an eine Funktionsdefinition!
Hat jemand noch eine Idee?
lg Roadrunner116
|
|
|
| |
|
> Danke schonmal an dieser Stelle, aber mir reicht das
> irgendwie nicht.
> Das ist nun schön und gut ... wir können jetzt beliebige
> Punkte suchen und zeigen dass diese auf genau einer geraden
> liegen.
Hallo,
wir nehmen einen beliebigen Punkt, der nicht auf der Geraden h liegt.
Wie sieht der aus?
> Jetzt kommt mein Problem: wie Prüfe ich, ob es nicht noch
> andere "Lücken" in unserem Geradenbüschel gibt? Weil das
> wäre ja die Einzige Möglichkeit für "Punkt liegt weder auf
> einer Geraden der Schaar, noch auf unserer Hilfsgeraden".
> Weil von der bisherigen Betrachtung aus können wir nicht
> sagen "alle Punkte der Ebene, die nicht auf h liegen,
> liegen auf genau einer Gerade der Schaar".
Doch.
Wir schauen den Vebindungsvektor zwischen unserem Punkt und dem Stützvektor der Geradenschar an.
Wenn der Punkt auf einer der Schargeraden liegt, ist der Verbindungsvektor ein Vielfaches des Richtungsvektors der gesuchten Schargeraden.
Nun schauen wir erstens, ob es ein a gibt, für die der Richtungsvektor einer Schargeraden parallel zu dem Verbindungsvektor ist.
Gibt es so ein a, wissen wir, daß der Punkt auf einer Schargeraden liegt.
Gibt es kein zweites a, so wissen wir, daß er auf genau einer Schargeraden liegt.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Entweder habe ich dich oder du mich nicht richtig vertsanden :-(.
Für mich zeigt das nur, dass genau eine gerade durch einen punkt geht, aber nicht, dass alle punkte der ebene (außer die die zu h gehören) von einer schaar-geraden abgedeckt sind.
lg Roadrunner116
|
|
|
| |
|
> Entweder habe ich dich oder du mich nicht richtig
> vertsanden :-(.
>
> Für mich zeigt das nur, dass genau eine gerade durch einen
> punkt geht, aber nicht, dass alle punkte der ebene (außer
> die die zu h gehören) von einer schaar-geraden abgedeckt
> sind.
Hallo,
mit "ich nehme einen beliebigen Punkt" meine ich natürlich nicht, daß ich mir einen Punkt wie [mm] \vektor{1\\2\\3} [/mm] vornehme.
Sondern einen "allgemeinen " Punkt der Ebene, welcher nicht auf h liegt.
Ich kenne ja die Parameterdarstellung von h, kann einen Richtungsvektor ergänzen, so daß ich die Parametergleichung der Ebene erhalte.
Alle Punkte, die ich so erhalte, liegen in der Ebene, und die, für die der zweite Parameter [mm] \not=0 [/mm] ist, liegen in der Ebene, aber nicht auf der Geraden h.
Mit diesen Punkten rechne ich - also recht allgemein.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Danke für die Geduld und die nette Hilfe.
lg Roadrunner116
|
|
|
|
