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Hallo liebe Community,
ich hab eine Frage an die Matheprofis unter euch  Wir sind gerade bei Vektorrechnung und ich muss einen Vortrag über den Schnittwinkel zwischen Gerade und Koordinatenebene machen, aber ohne den "Normalvektor" und ohne Ebenengleichungen, weil wir die noch nicht hatten. Meine Lehrerin meinte, dass das ziemlich schwer wäre und ich das gar nicht schaffen könnte, deswegen will ich es ihr beweisen!
Sie meinte, es gibt da eine bestimmte Berechnungsgleichung, die ich herausfinden müsste und auch deren Herleitung erklären muss!
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen und vielleicht ein Beispiel nennen, wie man das berechnet!
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: https://www.gutefrage.net/frage/vektorrechnung-schnittwinkel-zwischen-gerade-und-koordinatenebene-mathe-klasse-12?foundIn=user-profile-question-listing
Danke schon mal im Voraus 
Eure Sunshine424
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> Wir
> sind gerade bei Vektorrechnung und ich muss einen Vortrag
> über den Schnittwinkel zwischen Gerade und
> Koordinatenebene machen, aber ohne den "Normalvektor" und
> ohne Ebenengleichungen, weil wir die noch nicht hatten.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Was war denn dran? Das Skalarprodukt? Dieses ist Grundlage für meinen Vorschlag.
Geradengleichungen waren dran?
> Meine Lehrerin meinte, dass das ziemlich schwer wäre und
> ich das gar nicht schaffen könnte,
Ich frage mich, warum sie Dir dann diesen Vortrag zuteilt. Ich finde das unnett.
Stell Dir mal eine Gerade vor, die die xy-Ebene irgendwo schneidet.
(Stell es Dir wirklich vor, oder nimm besser einen Tisch und einen Stift zur Hilfe.)
Schau Dir den Richtungsvektor der Geraden an.
"Beleuchte" ihn aus z-Richung und betrachte seinen Schatten in der xy-Ebene.
Die Winkel zwischen Richungsvektor und seinem Schatten ist der Winkel zwischen Gerade und Ebene.
Wenn Dir das klar ist, hast Du das Wichtigste verstanden.
Beispiel:
Wir betrachten die Gerade mit der Gleichung
[mm] \vec{x}=\vektor{1\\2\\3}+t*\vektor{4\\5\\6}.
[/mm]
[mm] \vektor{4\\5\\6} [/mm] ist der Richtungsvektor.
Beleuchte ich ihn aus z-Richtung, projiziere ihn also in die xy-Ebene, bekomme ich den Vektor [mm] \vektor{4\\5\\0}.
[/mm]
Und nun berechne ich mithilfe des Skalarproduktes den Winkel zwischen beiden.
Für die anderen Koordinatenebenen geht's entsprechend.
LG Angela
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Hallo nochmal,
es geht sogar ohne Skalarprodukt:
das Dreieck, welches aus den Richtungsvektor und seiner Projektion auf die Koordinatenebene gebildet wird,ist ein rechtwinkliges Dreieck, zeichne es Dir auf.
Nehmen nochmal das Beispiel von zuvor, bei dem wir uns für den Winkel [mm] \alpha [/mm] zwischen der Geraden mit
[mm] \vec{x}=\vektor{1\\2\\3}+t*\vektor{4\\5\\6}
[/mm]
und der xy-Ebene interessierten,
so bekommen wir ein Dreieck mit der Hypotenusenlänge [mm] \wurzel{4^2+5^2+6^2}, [/mm] die Ankathete hat die Länge [mm] \wurzel{4^2+5^2+0^2}, [/mm] und den Winkel dazwischen schenkt Dir der cos:
[mm] cos(\alpha)=\bruch{\wurzel{4^2+5^2+0^2}}{\wurzel{4^2+5^2+6^2}}.
[/mm]
Bei den anderen Koordinatenebenen entsprechend.
Wenn Du alles verstanden hast, nimmst Du den Richtungsvektor [mm] \vektor{a_1\\a_2\\a_3} [/mm] und machst alles allgemein.
LG Angela
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