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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Do 20.12.2007 | | Autor: | kathea |
| Aufgabe | [mm] \vec{c}= \vektor{3 \\ 1\\5}+k*\vektor{-2 \\ 1\\3}+t*\vektor{1 \\ -4\\3}
[/mm]
c) Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden g, die auf der Ebenen E senkrecht steht und durch den Punkt P(3/1/5) geht! |
Hallo ihr Lieben,
brauche mal wieder einmal ganz dringend eure Hilfe, denn wir müssen morgen eine 6 stündige Abivorklausur schreiben. Bei dieser Ebene sollten wir zuvor die Koordinatenform angeben und dann gucken ob 2 Punkte in der Ebene liegen. War auch alles lösbar und hatteb so weit auch keine Probleme doch bei dieser Aufgabe haben wir dafür riesige.
ZUnächt haben wir die Punktrichungsform aufgestellt : [mm] \vec{r}=\vec{r1}+\lambda*\vec{u} [/mm] den Ortsvektor legen als Punkt P fest und dadurch dass die Gerade senkrecht auf der Ebene stehen soll wissen wir wir brauchen [mm] \vec{n}\circ\vec{u} [/mm] der Normalvektor der Ebene ist [mm] \vektor{1\\-1\\1} [/mm] doch jetzt haben wir ein problem und wissen nicht wie das funktionieren soll.
Wäre super lieb wenn ihr helfen könntet
kathea
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:06 Do 20.12.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Da ihr ja schon die Normalenform der Ebene habt, und damit auch den Normalenvektor [mm] \vec{n}, [/mm] habt ihr die Aufgabe ja schon fast gelöst.
Die gesuchte Gerade geht durch den Punkt P, also könnt ihr als Stützvektor [mm] \vec{p} [/mm] nehmen. Und sie soll senkrecht zur Ebene stehen, also muss der Richtungsvektor parallel zum Normalvenvektor [mm] \vec{n} [/mm] der Ebene sein. Der einfachste parallele Vektor ist der Normalenvektor selber.
Also ist deine Gerade:
[mm] g:\vec{x}=\vec{p}+\mu\vec{n}
[/mm]
Wenn du den Normalenvektor noch erstellen musst, nimm am besten das Kreuz-, Spat- oder Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren der Ebene
(Unter einem der Begriffe sollte das auch in der Formelsammlung stehen)
Eine Ebene [mm] E:\vec{x}=\vec{a}+\lambda\vec{u}+\nu\vec{v}
[/mm]
hat den Normalenvektor [mm] \vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}, [/mm] und somit die Normalenform:
[mm] \underbrace{(\vec{u}\times\vec{v})}_{\vec{n}}*\vec{x}=\underbrace{\vec{n}*\vec{a}}_{d}
[/mm]
[mm] mit\vec{x}*\vec{y} [/mm] ist das Skalarprodukt gemeint, mit [mm] \vec{x}\times\vec{y} [/mm] das Kreuzprodukt.
Ach ja: Die Definition des Kreuzprouktes:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hilft das erstmal weiter?
Marius
P.S.: Viel Erfolg morgen
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 Do 20.12.2007 | | Autor: | kathea |
Hi M.Rex,
danke für deine Hilfe also ist dann rein theoretisch die Gerade
[mm] \vec{x}= \vektor{3 \\ 1\\5}+\lambda*\vektor{1 \\ -1\\1}
[/mm]
und das wars dann oder was??
Auf jeden Fall danke für deine Hilfe und ich hoffe dass das richtig ist
kathea
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:51 Do 20.12.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Leider steht der Vektor [mm] \vektor{1\\-1\\1} [/mm] nicht senkrecht auf dem zweiten Richtungsvektor [mm] \vektor{1\\-4\\3}, [/mm] du musst dir einen anderen hernehmen
(der schnellste Weg ist das Kreuzprodukt)
Ansonsten stimmt der Ansatz aber.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 Do 20.12.2007 | | Autor: | kathea |
Hallo M.Rex,
also hab noch mal nachgerechnet und für den Normalvektor
[mm] \vektor{1 \\\bruch{4}{5}\\\bruch{2}{5}} [/mm] heraus bekommen, wenn wenn das jetzt auch wieder falsch sein sollte wäre es nett wenn du mir vielleicht einen anderen Weg sagen könntest als das Kreuzprodukt denn davon hab ich noch nie was gehört.
Lg kathea
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:12 Do 20.12.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Kathea
Das sieht gut aus.
Meiner Meinung nach gibt es keinen schnelleren Weg, den Normalenvektor zu bestimmen, als das Kreuzprodukt. Ausserdem bekommst du meistens gannzahlige Komponenten für den Normalenvektor heraus, und brauchst einfach nur zahlen in eine Formel Packen.
Alternativ kannst du auch ein GLS lösen mit zwei Gleichungen und drei Unbekannte, das ist aber meiner Meinung nach sehr sehr umständlich und fehleranfällig.
Marius
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